Il calcolo combinatorio permette di contare i risultati possibili senza elencarli tutti. Il metodo dipende da ciò che distingue due risultati: l’ordine, gli elementi scelti o entrambi. Bisogna anche stabilire se uno stesso elemento può essere scelto più volte.
Il principio di moltiplicazione
Un negozio vende tre modelli di scarpe, ciascuno in due colori. Scegliere modello e colore offre 3 × 2 = 6 possibilità. Si moltiplica il numero di opzioni di ogni fase. Se una scelta limita le successive, si usa il numero di opzioni effettivamente rimaste.
Che cos’è il fattoriale?
Il fattoriale di un intero positivo è il prodotto di quel numero per tutti gli interi positivi più piccoli. Per convenzione, il fattoriale di zero vale uno: esiste infatti un solo modo di ordinare una selezione vuota.
Permutare tutti gli elementi
Per ordinare n elementi distinti in n posizioni, ci sono n scelte per la prima, n − 1 per la seconda e così via. Tre candidati possono occupare tre posizioni finali in sei ordini diversi, senza parità.
Quando alcuni elementi sono identici, scambiarli non crea una nuova disposizione. Si divide per il fattoriale della numerosità di ogni gruppo ripetuto. La parola MAMMA ha cinque lettere, tre M e due A, quindi dieci ordinamenti distinti.
Disposizioni: scegliere e ordinare
Formare numeri di tre cifre distinte con {1, 2, 3, 5, 7, 9} è una disposizione senza ripetizione. Poiché 123 e 321 sono diversi, il conteggio è 6 × 5 × 4 = 120.
Con ripetizione, ogni posizione dispone nuovamente di tutte le n opzioni. Due posizioni riempite con le cinque vocali danno 25 sequenze, comprese AA e AE.
Combinazioni: conta soltanto il gruppo
Scegliere tre biglie distinte tra dodici dà 220 gruppi. Si sceglie un singolo gruppo di tre, non si distribuiscono tutte le dodici biglie in più contenitori. Gli ordini diversi dello stesso gruppo devono contare una volta sola.
Perché scegliere tre biglie tra dodici dà 220 gruppi
Dodici biglie sono tutte diverse e ne scegliamo tre senza reinserimento. Cambiare l’ordine delle stesse tre biglie non crea un altro gruppo. Usiamo quindi una combinazione con n = 12 e k = 3.
Sostituisci i valori nella formula. Poiché 12 − 3 = 9, il secondo fattoriale al denominatore è quello di 9.
Semplifica il fattoriale di 9 comune a numeratore e denominatore. I tre fattori rimasti al numeratore contano scelte ordinate; il denominatore elimina i sei ordini di ogni gruppo.
Calcola i prodotti e dividi. Ogni gruppo non ordinato viene contato una sola volta.
Ci sono 220 selezioni. Moltiplicare 220 per i sei ordini interni dà 1.320 selezioni ordinate e verifica il conteggio iniziale.
Scegliere con ripetizione
Per scegliere tre paia di scarpe tra dieci marche, ammettendo marche ripetute e ignorando l’ordine, ci sono 220 selezioni di marche. Si presuppongono disponibilità sufficiente e una distinzione basata solo sulla marca.
Nelle formule, n è il numero di elementi o tipi disponibili e k il numero scelto. Senza ripetizione, k non può superare n. Confronta AB e BA: sono lo stesso risultato? Controlla poi separatamente se AA è consentito. Queste due decisioni determinano il modello corretto.
