Kombinatorik gør det muligt at tælle udfald uden at skrive dem alle op. Metoden afhænger af, hvad der gør to udfald forskellige: rækkefølgen, de valgte elementer eller begge dele. Du skal også afgøre, om samme element må vælges flere gange.
Multiplikationsprincippet
En butik har tre skomodeller, hver i to farver. Et valg af model og farve giver 3 × 2 = 6 muligheder. Gang antallet af valg i hvert trin sammen. Hvis et valg begrænser senere trin, bruger du antallet af muligheder, der faktisk er tilbage.
Hvad betyder fakultet?
Fakultetet af et positivt helt tal er produktet af tallet og alle mindre positive hele tal. Nul fakultet er defineret som én, hvilket passer med den ene måde at ordne et tomt udvalg på.
Ordning af alle elementer
For n forskellige elementer på n pladser er der først n valg, derefter n − 1 og så videre. Tre kandidater kan få tre slutplaceringer i seks rækkefølger, hvis ingen deler en placering.
Identiske elementer giver ikke en ny ordning, når de byttes. Derfor divideres med fakultetet af antallet i hver gentaget gruppe. ANNA har fire bogstaver med to A og to N og giver seks forskellige bogstavordninger.
Ordnede udvalg: rækkefølgen tæller
At danne trecifrede tal uden gentagelse ud fra {1, 2, 3, 5, 7, 9} er et ordnet udvalg. Da 123 og 321 er forskellige, bliver antallet 6 × 5 × 4 = 120.
Med gentagelse har hver plads igen alle n muligheder. To pladser udfyldt med de fem bogstaver A, E, I, O og U giver 25 følger, blandt andet AA og AE.
Kombinationer: kun gruppen tæller
At vælge tre forskellige kugler blandt tolv giver 220 grupper. Her vælges én gruppe på tre, ikke en fordeling af alle tolv kugler i flere beholdere. Forskellige rækkefølger inden for samme gruppe tæller kun én gang.
Hvorfor tre kugler blandt tolv giver 220 grupper
Tolv kugler er forskellige, og vi vælger tre uden tilbagelægning. En anden rækkefølge af de samme tre skaber ikke en ny gruppe. Derfor bruges en kombination med n = 12 og k = 3.
Sæt antallene ind i formlen. Da 12 − 3 = 9, er det andet fakultet i nævneren 9 fakultet.
Forkort det fælles fakultet af 9 væk. De tre resterende faktorer i tælleren tæller ordnede udvalg; nævneren fjerner gruppens seks rækkefølger.
Beregn produkterne og dividér. Hver uordnet gruppe tælles nu præcis én gang.
Der er 220 udvalg. Ganges de med de seks interne rækkefølger, fås 1.320 ordnede udvalg, som kontrollerer den oprindelige optælling.
Udvalg med gentagelse
Vælges tre par sko blandt ti mærker, må mærker gentages, og tæller rækkefølgen ikke, er der 220 mærkeudvalg. Det forudsætter tilstrækkelig tilgængelighed og at kun mærket adskiller mulighederne.
Her er n antallet af tilgængelige elementer eller typer og k antallet af valgte elementer. Uden gentagelse må k ikke overstige n. Sammenlign AB og BA: Er det samme udfald? Undersøg derefter særskilt, om AA er tilladt. De to svar bestemmer tællemodellen.
