Kombinatorik handlar om att räkna möjligheter utan att skriva upp varenda utfall. Metoden beror på vad som skiljer två utfall åt: ordningen, de valda elementen eller båda. Du behöver också veta om samma element får väljas flera gånger.
Multiplikationsprincipen
En butik har tre skomodeller som alla finns i två färger. Att välja modell och färg ger 3 × 2 = 6 möjligheter. Multiplicera antalet val i varje steg. Om ett tidigare val begränsar senare steg använder du antalet alternativ som faktiskt återstår.
Vad betyder fakultet?
Fakulteten av ett positivt heltal är talet multiplicerat med alla mindre positiva heltal. Noll fakultet är definierat som ett, vilket passar med det enda sättet att ordna ett tomt urval.
Ordna alla elementen
För n olika element på n platser finns först n val, sedan n − 1 och så vidare. Tre kandidater kan få tre slutplaceringar i sex olika ordningar om ingen delar en placering.
Om vissa element är identiska ger ett byte mellan dem ingen ny ordning. Dividera därför med fakulteten av antalet i varje upprepad grupp. ANNA har fyra bokstäver med två A och två N och ger sex olika bokstavsordningar.
Ordnade urval där ordningen räknas
Att bilda tresiffriga tal utan upprepning ur {1, 2, 3, 5, 7, 9} är ett ordnat urval. Eftersom 123 och 321 är olika blir antalet 6 × 5 × 4 = 120.
Med upprepning har varje position åter alla n alternativ. Två positioner fyllda med de fem bokstäverna A, E, I, O och U ger 25 följder, bland annat AA och AE.
Kombinationer där bara gruppen räknas
Att välja tre olika kulor bland tolv ger 220 grupper. Här väljs en enda grupp av tre, inte en fördelning av alla tolv kulor på flera behållare. Olika ordningar inom samma grupp ska räknas bara en gång.
Varför tre kulor bland tolv ger 220 grupper
Tolv kulor är olika och vi väljer tre utan återläggning. En annan ordning på samma tre kulor skapar ingen ny grupp. Därför används en kombination med n = 12 och k = 3.
Sätt in antalen i formeln. Eftersom 12 − 3 = 9 är den andra fakulteten i nämnaren 9 fakultet.
Förkorta bort den gemensamma fakulteten av 9. De tre återstående faktorerna i täljaren räknar ordnade urval; nämnaren tar bort gruppens sex ordningar.
Beräkna produkterna och dividera. Varje oordnad grupp räknas nu precis en gång.
Det finns 220 urval. Multiplikation med de sex inre ordningarna ger 1 320 ordnade urval och kontrollerar den ursprungliga räkningen.
Urval med upprepning
Om tre par skor väljs bland tio märken, märken får återkomma och ordningen inte spelar roll finns 220 märkesurval. Det förutsätter tillräcklig tillgång och att endast märket skiljer alternativen åt.
Här är n antalet tillgängliga element eller typer och k antalet valda element. Utan upprepning får k inte överstiga n. Jämför AB med BA: betyder de samma utfall? Kontrollera sedan separat om AA är tillåtet. De två svaren avgör räknemodellen.
