A análise combinatória permite contar possibilidades sem as escrever uma a uma. Antes de escolher uma fórmula, é preciso perceber o que distingue duas escolhas: a ordem, os elementos escolhidos ou ambos. Também é necessário saber se um elemento pode ser repetido.
Quando se multiplicam as possibilidades?
Uma loja vende três modelos de sapatos, cada um disponível em duas cores. Escolher um modelo e uma cor dá 3 × 2 = 6 possibilidades. Este é o princípio multiplicativo: multiplica-se o número de escolhas de cada etapa. Se uma escolha limitar as seguintes, deve usar-se o número de opções que realmente restam.
Para que serve o fatorial?
O fatorial de um inteiro positivo é o produto desse número por todos os inteiros positivos menores. Por convenção, o fatorial de zero é um, de acordo com a única maneira de ordenar uma seleção vazia.
Permutar todos os elementos
Para ordenar n elementos distintos em n posições, há n escolhas para a primeira posição, n − 1 para a segunda e assim sucessivamente. Três candidatos podem ocupar três posições finais de seis maneiras, sem empates.
Se existirem elementos indistinguíveis, trocar apenas esses elementos não cria uma ordenação nova. Divide-se pelo fatorial da quantidade de elementos de cada grupo repetido. A palavra ARARA tem cinco letras, três A e dois R, pelo que admite dez ordenações distintas.
Arranjos: a ordem faz diferença
Com os algarismos {1, 2, 3, 5, 7, 9}, formar números de três algarismos distintos é um arranjo sem repetição. Como 123 e 321 são diferentes, contamos 6 × 5 × 4 = 120 números.
Quando a repetição é permitida, cada posição volta a dispor das n opções. Duas posições preenchidas com as cinco vogais dão 25 sequências, incluindo AA e AE.
Combinações: interessa o grupo escolhido
Escolher três berlindes distintos entre doze dá 220 grupos. Trata-se de escolher um grupo de três, não de distribuir todos os doze berlindes por vários recipientes. Divide-se a contagem ordenada pelo número de formas de ordenar o mesmo grupo.
Porque há 220 maneiras de escolher três berlindes entre doze?
Considere doze berlindes distintos e a escolha de três sem reposição. Mudar a ordem dos mesmos três berlindes não altera o grupo. Usamos, por isso, uma combinação com n = 12 e k = 3.
Substitua os valores na fórmula. Como 12 − 3 = 9, o segundo fatorial do denominador é o de 9.
Simplifique o fatorial de 9 comum ao numerador e ao denominador. Os três fatores restantes no numerador contam escolhas ordenadas; o denominador elimina as seis ordens de cada grupo.
Calcule os produtos e divida. Cada grupo não ordenado passa a ser contado uma única vez.
Existem 220 escolhas. Multiplicar 220 pelas seis ordens internas dá 1 320 escolhas ordenadas, confirmando a contagem inicial.
Escolher com repetição
Ao escolher três pares de sapatos entre dez marcas, permitindo repetir marcas e ignorando a ordem da escolha, existem 220 seleções de marcas. Pressupõe-se disponibilidade suficiente e que apenas a marca distingue as opções.
Nas fórmulas, n é o número de elementos ou tipos disponíveis e k é o número de escolhas. Sem repetição, k não pode exceder n. Para decidir o método, pergunte se AB e BA representam a mesma escolha; depois, verifique se AA é permitido. São perguntas distintas, e responder a ambas evita confundir arranjos com combinações.
