Kombinatoriikka: permutaatiot, variaatiot ja kombinaatiot

Kombinatoriikan avulla mahdollisuuksien määrä voidaan laskea luettelematta jokaista lopputulosta. Menetelmä riippuu siitä, erottavatko lopputuloksia järjestys, valitut alkiot vai molemmat. Lisäksi on tiedettävä, saako saman alkion valita useita kertoja.

Tuloperiaate mahdollisuuksien laskemisessa

Kaupassa on kolme kenkämallia, jokainen kahdessa värissä. Mallin ja värin voi valita 3 × 2 = 6 tavalla. Eri vaiheiden vaihtoehtomäärät kerrotaan keskenään. Jos aiempi valinta rajoittaa seuraavia, käytä siinä vaiheessa todella jäljellä olevien vaihtoehtojen määrää.

Mitä kertoma tarkoittaa?

Positiivisen kokonaisluvun kertoma on luvun ja kaikkien sitä pienempien positiivisten kokonaislukujen tulo. Nollan kertomaksi määritellään yksi. Tämä vastaa yhtä tapaa järjestää tyhjä valinta.

Kaikkien alkioiden järjestäminen

Kun n erilaista alkiota asetetaan n paikalle, ensimmäiseen on n vaihtoehtoa, seuraavaan n − 1 ja niin edelleen. Kolme ehdokasta voidaan sijoittaa kolmelle loppusijalle kuudessa järjestyksessä, jos tasatuloksia ei ole.

Samanlaisten alkioiden vaihtaminen ei tuota uutta järjestystä. Jaa siksi kunkin toistuvan ryhmän lukumäärän kertomalla. Sanassa ANNA on neljä kirjainta, kaksi A:ta ja kaksi N:ää, joten erilaisia kirjainjärjestyksiä on kuusi.

Variaatiot: järjestyksellä on merkitystä

Kolminumeroisten lukujen muodostaminen joukosta {1, 2, 3, 5, 7, 9} ilman toistoa on järjestetty valinta. Koska 123 ja 321 ovat eri lukuja, määrä on 6 × 5 × 4 = 120.

Kun toisto sallitaan, jokaisessa kohdassa ovat taas kaikki n vaihtoehtoa. Kaksi paikkaa täytettynä kirjaimilla A, E, I, O ja U tuottaa 25 jonoa, kuten AA ja AE.

Kombinaatiot: vain valittu ryhmä ratkaisee

Kolmen erilaisen kuulan valitseminen kahdestatoista antaa 220 ryhmää. Tässä valitaan yksi kolmen ryhmä, ei jaeta kaikkia kahtatoista kuulaa useisiin astioihin. Saman ryhmän erilaiset järjestykset lasketaan vain kerran.

Miksi kolmen kuulan valitseminen kahdestatoista antaa 220 ryhmää

Kaksitoista kuulaa ovat erilaisia, ja valitsemme kolme ilman palautusta. Samojen kolmen kuulan järjestyksen vaihtaminen ei muodosta uutta ryhmää. Käytämme siis kombinaatiota, jossa n = 12 ja k = 3.

1. Sijoita määrät kaavaan. Koska 12 − 3 = 9, nimittäjän toinen kertoma on luvun 9 kertoma.

   $$C(12,3)=\frac{12!}{3!\times 9!}$$

2. Supista yhteinen luvun 9 kertoma. Osoittajan kolme jäljelle jäävää tekijää laskevat järjestetyt valinnat; nimittäjä poistaa kunkin ryhmän kuusi järjestystä.

   $$C(12,3)=\frac{12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1}$$

3. Laske tulot ja jaa. Jokainen järjestämätön ryhmä tulee nyt lasketuksi täsmälleen kerran.

   $$C(12,3)=\frac{1320}{6}=220$$

Valintoja on 220. Kertominen kuudella sisäisellä järjestyksellä antaa 1 320 järjestettyä valintaa ja tarkistaa alkuperäisen laskennan.

Valinta toistolla

Jos valitaan kolme kenkäparia kymmenestä merkistä, merkkejä saa toistaa eikä järjestystä huomioida, merkkivalintoja on 220. Oletuksena on riittävä saatavuus ja se, että vaihtoehdot erotetaan vain merkin perusteella.

n tarkoittaa saatavilla olevien alkioiden tai tyyppien määrää ja k valittujen alkioiden määrää. Ilman toistoa k ei voi ylittää n:ää. Vertaa AB:tä ja BA:ta: ovatko ne sama tulos? Tarkista sitten erikseen, sallitaanko AA. Vastaukset määräävät laskentamallin.