Le dénombrement permet de compter les résultats possibles sans tous les écrire. La méthode dépend de ce qui distingue deux résultats : l’ordre, les éléments choisis ou les deux. Il faut aussi savoir si un élément peut être choisi plusieurs fois.
Le principe multiplicatif
Un magasin propose trois modèles de chaussures, chacun en deux couleurs. Choisir un modèle puis une couleur donne 3 × 2 = 6 possibilités. On multiplie le nombre de choix de chaque étape. Lorsqu’un choix limite les suivants, on utilise le nombre d’options réellement disponibles à cette étape.
À quoi sert la factorielle ?
La factorielle d’un entier positif est le produit de cet entier par tous les entiers positifs plus petits. Par convention, la factorielle de zéro vaut un, ce qui correspond à l’unique façon d’ordonner une sélection vide.
Permuter tous les éléments
Pour ordonner n éléments distincts dans n positions, il y a n choix pour la première position, puis n − 1 pour la deuxième, et ainsi de suite. Trois candidats peuvent occuper trois places finales de six façons, sans ex æquo.
Si certains éléments sont identiques, les échanger ne crée pas un nouvel ordre. On divise par la factorielle de l’effectif de chaque groupe répété. Le mot ELLE comporte quatre lettres, deux E et deux L : il admet six arrangements distincts de ses lettres.
Arrangements : l’ordre compte
Former un nombre de trois chiffres distincts avec {1, 2, 3, 5, 7, 9} revient à choisir puis à ordonner. Puisque 123 et 321 sont différents, on obtient 6 × 5 × 4 = 120 nombres.
Avec répétition, chaque position dispose de nouveau des n possibilités. Deux positions remplies avec les cinq lettres A, E, I, O et U donnent 25 suites, dont AA et AE.
Combinaisons : seul le groupe choisi compte
Choisir trois billes distinctes parmi douze donne 220 groupes. On choisit ici un seul groupe de trois ; on ne répartit pas les douze billes dans plusieurs récipients. Les différents ordres d’un même groupe ne sont comptés qu’une fois.
Pourquoi choisir trois billes parmi douze donne 220 groupes
Douze billes sont toutes distinctes et l’on en choisit trois sans remise. Changer l’ordre des mêmes trois billes ne crée pas un autre groupe. On utilise donc une combinaison avec n = 12 et k = 3.
Remplacez les paramètres dans la formule. Comme 12 − 3 = 9, la seconde factorielle du dénominateur est celle de 9.
Simplifiez la factorielle de 9 commune au numérateur et au dénominateur. Les trois facteurs restants du numérateur comptent les choix ordonnés ; le dénominateur élimine les six ordres de chaque groupe.
Effectuez les produits, puis divisez. Chaque groupe non ordonné est ainsi compté une seule fois.
Il existe 220 sélections. Multiplier 220 par les six ordres internes donne 1 320 sélections ordonnées et vérifie le comptage initial.
Choisir avec répétition
Pour choisir trois paires de chaussures parmi dix marques, en autorisant les marques répétées et sans tenir compte de l’ordre, il existe 220 sélections de marques. On suppose une disponibilité suffisante et que seule la marque distingue les options.
Dans ces formules, n est le nombre d’éléments ou de types disponibles et k le nombre choisi. Sans répétition, k ne peut pas dépasser n. Comparez AB et BA : représentent-ils le même résultat ? Vérifiez ensuite si AA est autorisé. Ces deux questions déterminent le modèle de comptage.
