La combinatoria permite contar resultados posibles sin enumerarlos todos. Para elegir el método, primero decide qué hace diferentes dos resultados: el orden, los elementos elegidos o ambas cosas. Después comprueba si se permite repetir un elemento.
El principio multiplicativo del conteo
Una tienda ofrece tres modelos de zapatos, cada uno en dos colores. Elegir modelo y color da 3 × 2 = 6 posibilidades. Se multiplican las opciones de cada etapa. Si una elección reduce las opciones posteriores, hay que usar el número de opciones que realmente quedan.
¿Qué significa el factorial?
El factorial de un entero positivo multiplica ese número por todos los enteros positivos menores. Por convenio, el factorial de cero vale uno, de acuerdo con la única manera de ordenar una selección vacía.
Permutaciones de todos los elementos
Al ordenar n elementos distintos en n posiciones, hay n opciones para la primera, n − 1 para la segunda, y así sucesivamente. Tres candidatos pueden ocupar tres puestos finales de seis maneras, si no hay empates.
Cuando algunos elementos son indistinguibles, intercambiarlos no produce una ordenación nueva. Divide por el factorial del tamaño de cada grupo repetido. La palabra CASAS tiene cinco letras, dos A y dos S, de modo que admite 30 ordenaciones distintas.
Variaciones: elegir y ordenar
Formar números de tres cifras distintas con {1, 2, 3, 5, 7, 9} es una variación sin repetición. Como 123 y 321 son números diferentes, hay 6 × 5 × 4 = 120 resultados.
Si se permite repetir, cada posición dispone de las n opciones iniciales. Dos posiciones cubiertas con las cinco vocales dan 25 secuencias, incluidas AA y AE.
Combinaciones: el orden no cuenta
Elegir tres canicas distintas entre doce da 220 grupos posibles. Se cuenta un grupo de tres, no una distribución de las doce canicas en varios recipientes. Cada grupo debe contarse una sola vez, aunque sus integrantes puedan ordenarse de distintas maneras.
Por qué elegir tres canicas entre doce da 220 grupos
Tenemos doce canicas distintas y elegimos tres sin reemplazo. Cambiar el orden de las mismas tres canicas no crea otro grupo. Por eso usamos una combinación con n = 12 y k = 3.
Sustituye los valores en la fórmula. Como 12 − 3 = 9, el segundo factorial del denominador es el de 9.
Simplifica el factorial de 9 común al numerador y al denominador. Los tres factores restantes del numerador cuentan selecciones ordenadas; el denominador elimina los seis órdenes de cada grupo.
Multiplica numerador y denominador y divide. Cada grupo sin orden se cuenta una sola vez.
Hay 220 selecciones. Multiplicar 220 por los seis órdenes internos da 1.320 selecciones ordenadas y comprueba el conteo inicial.
Selecciones con repetición
Si se eligen tres pares de zapatos entre diez marcas, se pueden repetir marcas y el orden de compra no importa, hay 220 selecciones de marcas. Se supone que existe disponibilidad suficiente y que solo la marca distingue las opciones.
En estas fórmulas, n es la cantidad de elementos o tipos disponibles y k es la cantidad elegida. Sin repetición, k no puede ser mayor que n. Compara AB con BA: si representan la misma selección, no cuentes el orden. Comprueba por separado si AA está permitido. Son dos decisiones distintas y determinan la fórmula adecuada.
