Kombinatoryka pozwala policzyć możliwe wyniki bez wypisywania każdego z nich. Najpierw ustal, co odróżnia dwa wyniki: kolejność, wybrane elementy czy obie te cechy. Osobno sprawdź, czy wolno wybierać ten sam element wielokrotnie.
Reguła mnożenia
Sklep ma trzy modele butów, każdy w dwóch kolorach. Wybór modelu i koloru daje 3 × 2 = 6 możliwości. Mnożymy liczby opcji na kolejnych etapach. Jeśli wcześniejszy wybór ogranicza następne, uwzględniamy liczbę opcji rzeczywiście dostępnych na danym etapie.
Co oznacza silnia?
Silnia dodatniej liczby całkowitej jest iloczynem tej liczby i wszystkich mniejszych dodatnich liczb całkowitych. Przyjmuje się, że silnia zera wynosi jeden, zgodnie z jedynym sposobem uporządkowania pustego zbioru elementów.
Ustawianie wszystkich elementów
Dla n różnych elementów na n miejscach mamy n możliwości na pierwszym miejscu, n − 1 na drugim i tak dalej. Trzech kandydatów może zająć trzy końcowe miejsca na sześć sposobów, jeśli nie ma remisów.
Zamiana identycznych elementów nie daje nowego ustawienia. Dzielimy więc przez silnię liczebności każdej grupy powtórzeń. Wyraz MAMA ma cztery litery, dwie M i dwie A, a zatem sześć różnych ustawień liter.
Wariacje: kolejność jest istotna
Tworzenie trzycyfrowych liczb bez powtórzeń ze zbioru {1, 2, 3, 5, 7, 9} jest wyborem uporządkowanym. Liczby 123 i 321 są różne, więc otrzymujemy 6 × 5 × 4 = 120 liczb.
Przy powtórzeniach na każdej pozycji ponownie dostępne są wszystkie n opcji. Dwie pozycje wypełnione literami A, E, I, O, U dają 25 ciągów, w tym AA i AE.
Kombinacje: liczy się tylko skład grupy
Wybór trzech różnych kulek spośród dwunastu daje 220 grup. Chodzi o jedną grupę trzech kulek, a nie podział wszystkich dwunastu między kilka pojemników. Różne kolejności tej samej grupy liczymy tylko raz.
Dlaczego wybór trzech kulek z dwunastu daje 220 grup
Mamy dwanaście różnych kulek i wybieramy trzy bez zwracania. Inna kolejność tych samych trzech kulek nie tworzy nowej grupy. Stosujemy więc kombinację z n = 12 i k = 3.
Podstaw liczby do wzoru. Ponieważ 12 − 3 = 9, druga silnia w mianowniku jest silnią z 9.
Skróć wspólną silnię z 9. Trzy czynniki pozostałe w liczniku zliczają wybory uporządkowane; mianownik usuwa sześć kolejności każdej grupy.
Oblicz iloczyny i wykonaj dzielenie. Każda nieuporządkowana grupa jest liczona dokładnie raz.
Istnieje 220 wyborów. Pomnożenie 220 przez sześć kolejności daje 1 320 wyborów uporządkowanych i sprawdza początkowy rachunek.
Wybór z powtórzeniami
Wybierając trzy pary butów spośród dziesięciu marek, z możliwością powtarzania marek i bez uwzględniania kolejności, otrzymujemy 220 zestawów marek. Zakładamy dostateczną dostępność oraz rozróżnianie opcji wyłącznie według marki.
n oznacza liczbę dostępnych elementów lub typów, a k liczbę wybieranych elementów. Bez powtórzeń k nie może przekraczać n. Porównaj AB i BA: czy oznaczają ten sam wynik? Następnie sprawdź, czy dopuszczalne jest AA. Te dwie odpowiedzi wskazują właściwy model.
