Combinatoriek helpt je mogelijkheden te tellen zonder ze allemaal op te schrijven. De methode hangt af van wat twee uitkomsten verschillend maakt: de volgorde, de gekozen elementen of beide. Bepaal daarnaast of een element meer dan één keer gekozen mag worden.
De productregel voor tellen
Een winkel verkoopt drie schoenmodellen, elk in twee kleuren. Een model en kleur kiezen kan op 3 × 2 = 6 manieren. Vermenigvuldig de aantallen keuzes per stap. Als een keuze latere mogelijkheden beperkt, gebruik je het aantal opties dat op dat moment echt overblijft.
Wat betekent faculteit?
De faculteit van een positief geheel getal is het product van dat getal met alle kleinere positieve gehele getallen. Nul faculteit is per definitie één. Dat past bij de ene manier om een lege selectie te ordenen.
Alle elementen op volgorde zetten
Voor n verschillende elementen op n plaatsen heb je eerst n keuzes, daarna n − 1 en zo verder. Drie kandidaten kunnen zonder gelijke eindstand op zes manieren de drie plaatsen bezetten.
Gelijke elementen verwisselen levert geen nieuwe ordening op. Daarom deel je door de faculteit van de grootte van elke herhaalde groep. ANNA heeft vier letters, twee A’s en twee N’s, en dus zes verschillende lettervolgordes.
Variaties: de volgorde telt mee
Driecijferige getallen maken uit {1, 2, 3, 5, 7, 9} zonder herhaling is een geordende selectie. Omdat 123 en 321 verschillen, zijn er 6 × 5 × 4 = 120 getallen.
Met herhaling zijn voor iedere positie opnieuw alle n opties beschikbaar. Twee posities gevuld met A, E, I, O en U leveren 25 reeksen op, waaronder AA en AE.
Combinaties: alleen de gekozen groep telt
Drie verschillende knikkers uit twaalf kiezen geeft 220 groepen. Het gaat om één groep van drie, niet om het verdelen van alle twaalf knikkers over meerdere bakjes. Verschillende volgordes binnen dezelfde groep tellen maar één keer.
Waarom drie knikkers uit twaalf kiezen 220 groepen geeft
Twaalf knikkers zijn allemaal verschillend en we kiezen er drie zonder terugleggen. Een andere volgorde van dezelfde drie maakt geen nieuwe groep. Gebruik dus een combinatie met n = 12 en k = 3.
Vul de aantallen in de formule in. Omdat 12 − 3 = 9 staat als tweede faculteit in de noemer 9 faculteit.
Deel de gemeenschappelijke 9 faculteit weg. De drie overgebleven factoren in de teller tellen geordende selecties; de noemer verwijdert de zes volgordes van elke groep.
Bereken teller en noemer en deel. Iedere ongeordende groep telt nu precies één keer.
Er zijn 220 selecties. Vermenigvuldigen met de zes interne volgordes geeft 1.320 geordende selecties en controleert de oorspronkelijke telling.
Kiezen met herhaling
Kies je drie paar schoenen uit tien merken, mag een merk terugkomen en telt de volgorde niet mee, dan zijn er 220 merkselecties. Hierbij neem je voldoende beschikbaarheid aan en onderscheid je alleen op merk.
n is het aantal beschikbare elementen of soorten en k het gekozen aantal. Zonder herhaling mag k niet groter zijn dan n. Vergelijk AB met BA: zijn dat dezelfde uitkomsten? Controleer daarna afzonderlijk of AA mag. Samen bepalen deze vragen het juiste telmodel.
