El binomio de Newton permite desarrollar una potencia entera no negativa de una suma sin repetir todas las multiplicaciones. Cada término combina un coeficiente con potencias de los dos sumandos. El patrón también sirve para encontrar un término aislado.
Interpretar el coeficiente binomial
Las entradas n y k indican cuántas elecciones de k posiciones existen entre n. No forman una fracción ordinaria. n es entero no negativo y k va de cero a n; el factorial de cero vale uno.
Elegir dos posiciones entre ocho equivale a dejar seis fuera. Por eso los coeficientes con entradas inferiores k y n − k coinciden.
Cómo cambian los exponentes
En el desarrollo, el exponente de a disminuye una unidad por término y el de b aumenta una unidad. Su suma permanece igual a n. Hay n + 1 posiciones antes de reducir términos semejantes.
Para una diferencia, incluye el signo negativo dentro del segundo sumando. Sus potencias impares dan términos negativos y las pares positivos. Esta fórmula finita no se aplica sin cambios a cualquier exponente real.
Leer el triángulo de Pascal desde la fila cero
La primera fila contiene 1. Cada fila empieza y termina en 1; las entradas interiores suman las dos situadas encima. La fila tres proporciona 1, 3, 3, 1 para un cubo.
Ejemplo: desarrollar el cubo de x + 3
Toma la fila tres, reduce los exponentes de x desde tres hasta cero y aumenta los de 3 desde cero hasta tres. Efectúa los productos numéricos antes de simplificar.
Por qué el quinto término usa k = 4
La numeración es k + 1 porque el primer término corresponde a k = 0. Sustituye k por 4 para hallar el quinto.
Para la quinta potencia de la suma del cubo de x y 2, toma a como el cubo de x, b = 2 y n = 5. En orden descendente de potencias de x se obtiene:
Consulta permutaciones y combinaciones para interpretar el recuento de los coeficientes.
