Binomialteoremet utvider en ikke-negativ heltallspotens av en sum med to ledd. Du trenger ikke multiplisere alle faktorene ut enkeltvis. Hvert ledd kombinerer en koeffisient med potenser av begge delene; også ett ledd kan beregnes for seg.
Hva teller en binomialkoeffisient?
Tallene n og k angir valg av k posisjoner blant n. Notasjonen over hverandre er ingen vanlig brøk. n er et ikke-negativt heltall og k går fra null til n; null fakultet er én.
Å velge to posisjoner blant åtte tilsvarer å la seks stå utenfor. Det forklarer symmetrien mellom k og n − k.
Eksponentene endres i motsatt retning
Eksponenten til a faller med én per ledd, mens den til b øker med én. Summen forblir n. Før sammentrekking finnes n + 1 posisjoner.
Ved en differanse hører minustegnet med til andre ledd. Oddetallspotenser av dette er negative, partallspotenser positive. Den endelige formelen gjelder ikke uendret for alle reelle eksponenter.
Pascals trekant begynner med rad null
Øverst står 1. Hver rad begynner og slutter med 1; et indre tall er summen av de to over. Rad tre gir 1, 3, 3, 1, koeffisientene til en tredje potens.
Eksempel: tredje potens av x + 3
Bruk rad tre. La eksponenten til x falle fra tre til null og den til 3 øke fra null til tre. Regn deretter ut tallproduktene.
Femte ledd bruker k = 4
Leddnummeret er k + 1 fordi det første bruker k = 0. Sett derfor k = 4 for det femte leddet.
I femte potens av summen av x i tredje og 2 er a lik x i tredje, b = 2 og n = 5. Med synkende x-potenser får du:
Tellefortolkningen forklares i permutasjoner og kombinasjoner.
