Der binomische Lehrsatz entwickelt eine Summe aus zwei Termen, die mit einer nichtnegativen ganzen Zahl potenziert wird. Statt alle Faktoren auszumultiplizieren, kombinierst du Binomialkoeffizienten mit den passenden Potenzen. Auch ein einzelnes Glied lässt sich so bestimmen.
Was bedeutet der Binomialkoeffizient?
Die Einträge n und k zählen die Auswahl von k Positionen aus n. Die übereinanderstehenden Zahlen bilden keinen gewöhnlichen Bruch. n ist nichtnegativ und ganzzahlig; k läuft von null bis n. Die Fakultät von null ist eins.
Zwei Positionen aus acht auszuwählen entspricht dem Weglassen von sechs. Das erklärt die Symmetrie zwischen k und n − k.
Die Exponenten verändern sich gegenläufig
Der Exponent von a sinkt pro Glied um eins, der von b steigt um eins. Ihre Summe bleibt n. Vor dem Zusammenfassen gibt es n + 1 Positionen.
Bei einer Differenz gehört das Minuszeichen zum zweiten Term. Ungerade Potenzen davon sind negativ, gerade positiv. Die endliche Formel gilt nicht unverändert für beliebige reelle Exponenten.
Das Pascal-Dreieck beginnt mit Zeile null
Oben steht 1. Jede Zeile beginnt und endet mit 1; innere Einträge ergeben sich aus den beiden darüberliegenden. Zeile drei liefert die Koeffizienten 1, 3, 3, 1 für eine dritte Potenz.
Beispiel: die dritte Potenz von x + 3
Verwende Zeile drei. Verringere den Exponenten von x von drei bis null und erhöhe den von 3 von null bis drei. Berechne anschließend die Zahlenprodukte.
Beim fünften Glied ist k gleich 4
Die Gliednummer lautet k + 1, weil das erste Glied mit k = 0 beginnt. Setze daher für das fünfte Glied k = 4 ein.
Bei der fünften Potenz aus der Summe der dritten Potenz von x und 2 sind a die dritte Potenz von x, b = 2 und n = 5. Für absteigende x-Potenzen folgt:
Zum Zählen hinter den Koeffizienten siehe Permutationen und Kombinationen.
