Binomikaava avaa kahden termin summan potenssin, kun eksponentti on epänegatiivinen kokonaisluku. Kaikkia tekijöitä ei tarvitse kertoa auki peräkkäin. Jokainen termi yhdistää kertoimen molempien osien potensseihin; myös yksi kohta voidaan laskea erikseen.
Mitä binomikerroin laskee?
Luvut n ja k kuvaavat k paikan valintaa n paikasta. Päällekkäinen merkintä ei ole tavallinen murtoluku. n on epänegatiivinen kokonaisluku, k kulkee nollasta n:ään ja nollan kertoma on yksi.
Kahden paikan valitseminen kahdeksasta vastaa kuuden jättämistä pois. Tämä selittää symmetrian k:n ja n − k:n välillä.
Eksponentit muuttuvat vastakkaisiin suuntiin
a:n eksponentti pienenee yhdellä termiä kohti ja b:n kasvaa yhdellä. Niiden summa pysyy n:nä. Ennen samanlaisten termien yhdistämistä paikkoja on n + 1.
Erotuksessa miinusmerkki kuuluu toiseen termiin. Sen parittomat potenssit ovat negatiivisia, parilliset positiivisia. Äärellinen kaava ei päde muuttamatta kaikille reaalisille eksponenteille.
Pascalin kolmio alkaa rivistä nolla
Ylimpänä on 1. Jokainen rivi alkaa ja päättyy ykköseen; sisempi luku on kahden yläpuolisen summa. Rivi kolme antaa kertoimet 1, 3, 3, 1 kuutiolle.
Esimerkki: summan x + 3 kuutio
Käytä riviä kolme. Vähennä x:n eksponenttia kolmesta nollaan ja kasvata luvun 3 eksponenttia nollasta kolmeen. Laske sitten numeeriset tulot.
Viides termi käyttää arvoa k = 4
Termin numero on k + 1, koska ensimmäinen käyttää arvoa k = 0. Sijoita siis viidettä varten k = 4.
Kun korotat x:n kuution ja luvun 2 summan viidenteen potenssiin, a on x:n kuutio, b = 2 ja n = 5. Laskevassa x-potenssien järjestyksessä saat:
Valintojen laskemista selitetään kohdassa permutaatiot ja kombinaatiot.
