Binomialformlen udvider en ikke-negativ heltalspotens af en sum med to led. Du behøver ikke gange alle faktorer ud enkeltvis. Hvert led kombinerer en koefficient med potenser af begge dele; også ét led kan beregnes særskilt.
Hvad tæller en binomialkoefficient?
Tallene n og k angiver valg af k positioner blandt n. Den stablede notation er ikke en almindelig brøk. n er et ikke-negativt heltal, og k går fra nul til n; nul fakultet er én.
At vælge to positioner blandt otte svarer til at lade seks stå udenfor. Det forklarer symmetrien mellem k og n − k.
Eksponenterne ændres i modsatte retninger
Eksponenten for a falder med én pr. led, mens den for b stiger med én. Summen forbliver n. Før sammentrækning er der n + 1 positioner.
Ved en differens hører minustegnet med til det andet led. Ulige potenser af dette er negative, lige potenser positive. Den endelige formel gælder ikke uændret for alle reelle eksponenter.
Pascals trekant begynder med række nul
Øverst står 1. Hver række begynder og slutter med 1; et indre tal er summen af de to ovenover. Række tre giver 1, 3, 3, 1, koefficienterne til en tredje potens.
Eksempel: tredje potens af x + 3
Brug række tre. Lad eksponenten for x falde fra tre til nul og den for 3 stige fra nul til tre. Beregn derefter talprodukterne.
Det femte led bruger k = 4
Lednummeret er k + 1, fordi det første bruger k = 0. Indsæt derfor k = 4 for det femte led.
I femte potens af summen af x i tredje og 2 er a lig med x i tredje, b = 2 og n = 5. Med faldende x-potenser fås:
Tællefortolkningen forklares i permutationer og kombinationer.
