Le binôme de Newton développe une puissance entière positive ou nulle d’une somme de deux termes. Il évite de multiplier tous les facteurs successivement. Chaque terme associe un coefficient binomial aux puissances des deux expressions, et l’on peut calculer une position sans développer les autres.
Comprendre le coefficient binomial
Les entrées n et k comptent les choix de k positions parmi n. Cette notation à deux niveaux n’est pas une fraction ordinaire. n est entier positif ou nul, et k va de zéro à n ; la factorielle de zéro vaut un.
Choisir deux positions parmi huit revient à en laisser six de côté. Cela explique la symétrie entre k et n − k dans une même ligne.
Suivre les exposants dans le développement
L’exposant de a diminue de un à chaque terme et celui de b augmente de un. Leur somme reste égale à n. Le développement compte n + 1 positions avant réduction des termes semblables.
Pour une différence, intégrez le signe négatif dans le second terme. Ses puissances impaires sont négatives et ses puissances paires positives. La formule finie ne s’étend pas telle quelle à tous les exposants réels.
Lire le triangle de Pascal depuis la ligne zéro
Le premier 1 constitue la ligne zéro. Chaque ligne commence et finit par 1 ; chaque entrée intérieure additionne les deux entrées au-dessus. La ligne trois contient 1, 3, 3, 1, coefficients d’un cube.
Exemple : développer le cube de x + 3
Prenez la ligne trois. Faites descendre l’exposant de x de trois à zéro et monter celui de 3 de zéro à trois, puis effectuez les produits numériques.
Le cinquième terme correspond à k = 4
Le numéro du terme est k + 1, puisque le premier utilise k = 0. Pour le cinquième, remplacez donc k par 4.
Dans la puissance cinq de la somme du cube de x et de 2, prenez a égal au cube de x, b = 2 et n = 5. En ordonnant les puissances de x de façon décroissante, on obtient :
Le sens combinatoire est expliqué dans permutations et combinaisons.
