Binômio de Newton

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O binômio de Newton é formado por dois monômios elevados a um expoente n. Um valor de n muito grande torna um binômio difícil de calcular e muito grande quando desenvolvido.

Números binomiais são ótimos para utilizar no processo de fatoração de polinômios.

Exemplo:

Considere o binômio (x + y)2, escreva-o na forma expandida.

O expoente indica quantas vezes devemos multiplica a soma (x + y), assim:

  • (x + y).(x + y) = x² + xy + xy + y² = x² + 2xy + y²

Índice do Artigo

Número Binomial

Um número binomial é a combinação de um número de n termos k a k. Escrevemos um número binomial da seguinte forma:

Binômio de Newton
Número binomial

Onde:

  • n: é chamado de numerador;
  • k: é chamado de denominador;
  • n e k são números naturais com n ≥ k.

A expressão do número binomial corresponde a uma combinação simples Cn,k.

Exemplo:

Número binomial e fatorial
Número binomial e fatorial

Leia mais sobre números fatoriais.

Fórmula do Binômio de Newton

O binômio de Newton é uma potência na forma (x + y)n, com n ∈ R e possui a seguinte fórmula:

Fórmula do Binômio de Newton
Fórmula do Binômio de Newton

Onde os números binomiais são combinações simples. Dessa forma, quanto maior for o valor de n, mais complexo se torna o binômio.

Exemplo:

Desenvolva o binômio (x + 3)3:

Podemos desenvolver de duas formas: multiplicando os termos ou utilizando a fórmula acima.

  • Multiplicando os termos: (x + 3).(x + 3).(x + 3) = (x² + 3x + 3x + 9).(x + 3) = x³ + 3x² + 3x² + 9x + 3x² + 9x + 9x + 27 = x³ + 9x² + 27x + 27;
  • Fórmula do binômio: 1 . x³ . 30 + 3 . x² . 3¹ + 3 . x¹ . 3² + 1 . x0 . 33 = x³ + 9x² + 27x + 27.

Para um expoente com valor baixo é simples de fazer, no entanto para valores altos, calcular um binômio pode ser muito difícil.

Números Binomiais Complementares

Chamamos dois números binomiais de complementares quando eles possuem o mesmo numerador, de forma que a soma dos denominadores seja igual ao numerador.

Exemplo:

Considere os números binomiais abaixo:

Números Binomiais Complementares
Números Binomiais Complementares

São números binomiais complementares, pois k + n – k = n.

Os números binomiais

Números Binomiais Complementares
Números Binomiais Complementares

são complementares pois 6 + 2 = 8.

Propriedade

Se dois números binomiais são iguais, então:

Propriedade dos Números Binomiais Complementares

Propriedade dos Números Binomiais Complementares

Binômio de Newton e Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é formado por números binomiais organizados na forma de uma matriz. Onde o numerador de número binomial (n) ocupe a linha e o denominador (k) ocupe a coluna.

Os números binomiais tem a seguinte forma:

Binômio de Newton e Triângulo de Pascal
Binômio de Newton e Triângulo de Pascal

Onde:

  • n: são as linhas no triângulo de Pascal;
  • k: são as coluna.

Então, o triângulo é formado da seguinte forma:

Binômio de Newton e Triângulo de Pascal
Binômio de Newton e Triângulo de Pascal

Ao substituirmos os números binomiais pelos valores correspondentes, temos:

Binômio de Newton e Triângulo de Pascal
Triângulo de Pascal

Que é o triângulo de Pascal.

Termo Geral do Binômio de Newton

Se quisermos saber um termo qualquer de um binômio devemos utilizar a seguinte fórmula:

Fórmula do Termo Geral do Binômio de Newton
Fórmula do Termo Geral do Binômio de Newton

Exemplo:

Encontre o quinto termo de (x³ + 2)5, em que os expoentes de x são decrescentes.

Resolução:

Cálculo do termo geral do Binômio de Newton
Cálculo do termo geral do Binômio de Newton

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