Triângulo de Pascal

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O triângulo de Pascal é a organização dos coeficientes binomiais em uma tabela. O triângulo de Pascal é infinito, formado por números binominais, iniciando a partir do 0 (zero).

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Definição do Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal são números organizados em uma tabela de números binomiais da seguinte forma:

Os números binomiais no triângulo são formados por

Definição do Triângulo de Pascal

Onde:

  • n: representa o número de linhas.
  • k: representa o número de coluna.

O número n representa o “numerador” do número binomial e o número k representa o “denominador”.

Assim, temos a seguinte tabela com os números binomiais dispostos:

Definição do Triângulo de Pascal

No triângulo acima, se os números binominais tiverem o mesmo “numerador”, então diz-se que eles estão na mesma linha do triângulo. Se os números tiverem o mesmo “denominador”, então diz-se que eles estão na mesma coluna do triângulo.

Substituindo os números binominais por cada valor correspondente, temos:

Definição do Triângulo de Pascal

Coeficiente Binomial

Os números binomiais do triângulo de Pascal são representados por:

Definição do Triângulo de Pascal

Onde:

  • n: é chamado de “numerador”
  • k: é chamado de “denominador”
  • Com n ≥ k, e n e k são números naturais

Para calcular cada número binomial, utilizamos a seguinte expressão:

Definição do Triângulo de Pascal

Onde:

  • Cn,k: é uma combinação simples com n elementos tomados k a k.
  • n!: é o fatorial de um número n qualquer.
  • k! também é o fatorial de um numero k qualquer.

O fatorial de um número é calculado da seguinte forma:

n! = n . (n-1) . (n-2) . … . 3 . 2 . 1

Exemplo:

Fatorial de 5: 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1

Construção do Triângulo de Pascal

É bem fácil construir o triângulo de Pascal, precisamos apenas lembrar que os numeradores ficam na mesma linha e os denominadores na mesma coluna. Então, temos:

Construção do Triângulo de Pascal

Pode seguir os seguintes passos na resolução dos números binomiais:

  • Todos os elementos da coluna 0 é igual a 1.
  • O último elemento de cada linha é igual a 1.
  • O elemento que não está na coluna 0 e nem é o último elemento da linha, é a soma do número de cima mais o antecessor do número de cima.

Aplicando os passos acima, chegaremos ao seguinte resultado:

Construção do Triângulo de Pascal

Propriedades do Triângulo de Pascal

  • Relação de Stifel: um número no triângulo de Pascal é a soma do numero de cima mais o antecessor desse número de cima.

    Propriedades do Triângulo de Pascal
  • Simetria: o triângulo de Pascal é simétrico em relação a altura. Em uma linha qualquer, dois binomiais equidistantes dos extremos são iguais.

    Propriedades do Triângulo de Pascal
  • Teorema das Linhas: a soma de qualquer linha do triângulo de ordem n é igual a 2n.

    Propriedades do Triângulo de Pascal
  • Teorema das Colunas: a soma dos números binomiais de uma coluna no triângulo de Pascal, a partir do primeiro elemento, o resultado é o número binomial à direita da linha abaixo do último elemento somado.

    Propriedades do Triângulo de Pascal
  • Teorema das Transversais: s soma dos números de uma diagonal qualquer do triângulo de Pascal, a partir do primeiro elemento da diagonal, é igual ao elemento abaixo do último elemento somando.

    Propriedades do Triângulo de Pascal

Binômio de Newton

O Binômio de Newton é uma potência da seguinte forma (x + y)n, com n ∈ R.

A fórmula geral do Binômio de Newton para o expoente n é a seguinte:

Binômio de Newton

Os coeficientes do Binômio de Newton correspondem aos números binomiais do triângulo de Pascal.

Exemplo:

Vamos desenvolver o seguinte binômio: (x + 2)3.

1 . x3 . 20 + 3 . x2 . 21 + 3 . x1 . 22 + 1 . x0 . 23

Os números em negritos são os números correspondentes a 3ª linha do triângulo de Pascal, ja que n = 3. Os números da 3ª do triângulo são: 1 3 3 1.

Resolvendo o binômio acima temos:

x3 + 6x2 + 12x + 8

Que é uma equação de grau 3.

Para valores pequenos é tranquilo resolver um binômio. No entanto, para valores maiores torna-se muito complicado a solução de um binômio. Uma saída é recorrer ao triângulo de Pascal para determinar os coeficientes binomiais para a expansão.

Curta e favorite! 😉

Bons estudos! 😄






Autor

Jean Carlos Novaes by

Formado em Ciência da Computação na UFBA. Depois de ficar sete anos tentando cursar uma universidade, conseguiu entrar na UFBA prestando um dos mais concorridos vestibulares do país.
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