Triângulo de Pascal: Definição e Construção

O triângulo de Pascal é a organização dos coeficientes binomiais em uma tabela. É infinito e formado por números binominais, iniciando a partir do 0 (zero).

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Definição

O triângulo de Pascal são números organizados em uma tabela formada por números binomiais da seguinte forma:

Os números binomiais no triângulo são formados por

Número binominal

Onde:

O número n representa o “numerador” do número binomial e o número k representa o “denominador”.

Assim, temos a seguinte tabela com os números binomiais dispostos:

Tabela de números binomiais

No triângulo acima, se os números binominais tiverem o mesmo “numerador”, então diz-se que eles estão na mesma linha do triângulo. Se os números tiverem o mesmo “denominador”, então diz-se que eles estão na mesma coluna do triângulo.

Substituindo os números binominais por cada valor correspondente, temos:

Triângulo de Pascal

Coeficiente Binomial

Os números binomiais são representados por:

Definição do Triângulo de Pascal

Onde:

Para calcular cada número binomial, utilizamos a seguinte expressão:

Coeficiente Binomial

Onde:

O fatorial de um número é calculado da seguinte forma:

n! = n . (n-1) . (n-2) . … . 3 . 2 . 1

Exemplo:

Fatorial de 5: 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1

Construção do Triângulo de Pascal

É bem fácil construí-lo, precisamos apenas lembrar que os numeradores ficam na mesma linha e os denominadores na mesma coluna. Então, temos:

Construção do Triângulo de Pascal

Pode seguir os seguintes passos na resolução dos números binomiais:

Aplicando os passos acima, chegaremos ao seguinte resultado:

Construção do Triângulo de Pascal

Propriedades

Relação de Stifel: um número no triângulo de Pascal é a soma do numero de cima mais o antecessor desse mesmo número.

relação de stifel

Simetria: o triângulo de Pascal é simétrico em relação a altura. Em uma linha qualquer, dois binomiais equidistantes dos extremos são iguais.

simetria

Teorema das Linhas: a soma de qualquer linha do triângulo de ordem n é igual a 2n.

teorema das linhas

Teorema das Colunas: a soma dos números binomiais de uma coluna no triângulo de Pascal, a partir do primeiro elemento, tem como resultado o número binomial à direita da linha abaixo do último elemento somado.

teorema das colunas

Teorema das Transversais: s soma dos números de uma diagonal qualquer do triângulo de Pascal, a partir do primeiro elemento da diagonal, é igual ao elemento abaixo do último elemento somando.

Teorema das Transversais

Binômio de Newton

O Binômio de Newton é uma potência da seguinte forma (x + y)n, com n ∈ R.

A fórmula geral do Binômio de Newton para o expoente n é a seguinte:

Binômio de Newton

Os coeficientes do binômio correspondem aos números binomiais do triângulo de Pascal.

Exemplo:

Vamos desenvolver o seguinte binômio: (x + 2)3.

1 . x3 . 20 + 3 . x2 . 21 + 3 . x1 . 22 + 1 . x0 . 23

Os números em negritos são os números correspondentes a 3ª linha do triângulo de Pascal, já que n = 3. Então, a 3ª linha do triângulo são: 1 3 3 1.

Resolvendo o binômio acima temos:

x3 + 6x2 + 12x + 8

Que é uma equação de grau 3.

Para valores pequenos é tranquilo resolver um binômio. No entanto, para valores maiores torna-se muito complicado sua solução. Uma saída é recorrer ao triângulo de Pascal para determinar os coeficientes binomiais para a correta expansão do binômio.

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Authorby Jean Carlos Novaes