La division de polynômes cherche un quotient et un reste qui reconstituent le dividende. À coefficients réels, le diviseur doit être non nul. On s’arrête si le reste est nul ou de degré inférieur au diviseur, et non au quotient.
Ordonner les puissances avant de diviser
Rangez les degrés décroissants et prévoyez un coefficient nul pour une puissance absente. Divisez les termes dominants, multipliez tout le diviseur par le résultat et soustrayez ce produit entier. Alignez les puissances identiques pour gérer les signes.
Un monôme peut laisser un reste
Dans la division suivante par x, le quotient polynomial vaut 3x + 2 et le reste 2. L’expression rationnelle conserve la fraction supplémentaire et exige x non nul.
Supprimer ce 2 rendrait la réponse incomplète. Si le dividende a un degré inférieur au diviseur, la division reste possible : quotient nul et reste égal au dividende.
Exemple avec un diviseur quadratique
Pour le cubique A et le quadratique B, les termes dominants donnent 3x. Multipliez B par 3x, appelez M ce produit, puis soustrayez-le de A.
Deuxième étape : obtenir −1
Divisez le nouveau terme dominant par celui de B. Multipliez B par −1 puis soustrayez ce produit en changeant tous ses signes. Le reste linéaire a désormais un degré inférieur à deux.
Vérifier sans oublier le reste
Multipliez B par 3x − 1 et ajoutez −3x + 1 : le développement redonne A. L’identité vaut pour tout x ; seule l’expression rationnelle A divisé par B exclut les zéros de B.
La division synthétique est un raccourci pour certains diviseurs linéaires, pas pour tout diviseur. Revoyez le binôme de Newton pour développer les puissances.
