Polynomdivision findet einen Quotienten und Rest, die den Dividenden wiederherstellen. Bei reellen Koeffizienten darf der Divisor nicht das Nullpolynom sein. Das Verfahren endet bei Rest null oder Restgrad kleiner als der Divisorgrad, nicht der Quotientgrad.
Potenzen vor der Division ordnen
Schreibe absteigende Grade und setze bei fehlenden Potenzen Nullkoeffizienten ein. Teile führende Terme, multipliziere den gesamten Divisor und subtrahiere das gesamte Produkt. Gleiche Potenzen untereinander verhindern Vorzeichenfehler.
Auch ein Monom kann einen Rest lassen
Bei der folgenden Division durch x ist der Polynomquotient 3x + 2 und der Rest 2. Als rationaler Ausdruck bleibt der zusätzliche Bruch erhalten und x muss ungleich null sein.
Die 2 wegzulassen wäre unvollständig. Ist der Dividendgrad kleiner, bleibt Division möglich: Quotient null und Rest gleich dem Dividenden.
Beispiel mit quadratischem Divisor
Für das kubische A und quadratische B liefern die führenden Terme 3x. Multipliziere B mit 3x, nenne das Produkt M und ziehe es von A ab.
Zweiter Schritt: −1 bestimmen
Teile den neuen führenden Term durch den von B. Multipliziere B mit −1 und subtrahiere dieses Produkt mit allen geänderten Vorzeichen. Der lineare Rest hat nun Grad unter zwei.
Den Rest bei der Probe behalten
Multipliziere B mit 3x − 1 und addiere −3x + 1: Ausmultiplizieren ergibt A. Die Identität gilt für alle x; nur der rationale Ausdruck A durch B schließt Nullstellen von B aus.
Synthetische Division ist eine Abkürzung für geeignete lineare Divisoren. Für Potenzentwicklungen siehe den binomischen Lehrsatz.
