Divisão de Polinômios

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A divisão de polinômios de dois polinômios A(x) e B(x) não nulos, obtém um polinômio Q(x) e R(x) de forma que:

Divisão de polinômios
Divisão de polinômios

Onde:

  • A(x): é o dividendo;
  • B(x): é o divisor;
  • Q(x): é o quociente;
  • R(x): é o resto.

Vamos demonstrar aqui o método conhecido como método da chave.

Índice do Artigo

Divisão de Polinômios por Monômio

Um polinômio é formado por vários monômios. Para dividir um polinômio por um monômio devemos proceder da seguinte forma:

Exemplo:

Seja o polinômio P(x) = 3x² + 2x + 2 e o monômio x.

Primeiro devemos armar o problema para a divisão:

Divisão de polinômios por um monômio
Divisão de polinômios por um monômio

Depois devemos pegar o monômio 3x² do primeiro polinômio e dividir por x. Resulta em 3x, multiplicamos 3x por x e colocamos o resultado embaixo do número que dividimos com o sinal trocado, então fazemos a soma. Como mostra a imagem:

Divisão de polinômios por um monômio
Divisão de polinômios por um monômio

Continuamos o processo de divisão como no passo anterior:

Divisão de polinômios por um monômio
Divisão de polinômios por um monômio

A divisão termina quando o grau do resto for menor que o grau do quociente. Assim, a divisão do polinômio 3x² + 2x + 2 pelo monômio x, resulta no polinômio 3x + 2.

Divisão de Polinômios por Polinômios

Agora vamos mostrar como dividir dois polinômios.

Exemplo:

Considere os polinômios A(x) = 3x³ + 2x² + 2x – 1 e B(x) = x² + x + 2. Efetue a divisão de A(x) por B(x).

A princípio, temos que verificar o grau do dividendo para ver se é maior ou igual ao grau do divisor. Caso contrário, não será possível efetuar a divisão. No exemplo, o grau de A(x) = 3 e B(x) = 2. vamos prosseguir.

Vamos armar o problema:

Divisão de polinômios por polinômios
Divisão de polinômios por polinômios

Então, devemos dividir o primeiro termo do dividendo com o primeiro do divisor, 3x³ dividido por :

Divisão de polinômios por polinômios
Divisão de polinômios por polinômios

Agora multiplicamos o resultado (3x) por todo o divisor (x² + x + 2) começando da direita para a esquerda, o resultado deve ser colocado abaixo de cada termo coincidente do dividendo com o sinal trocado, por fim realize a soma.

Divisão de polinômios por polinômios
Divisão de polinômios por polinômios

Agora, devemos dividir o resultado da soma anterior pelo divisor. Sempre pegando o maior termo do dividendo e dividindo pelo maior termo do divisor. Colocando o resultado embaixo de cada termo coincidente do dividendo.

Divisão de polinômios por polinômios
Divisão de polinômios por polinômios

Devemos repetir o processo até que o grau do resto R(x) for menor que o grau do divisor B(x) ou o grau do resto R(x) for igual a zero.

Divisão de polinômios por polinômios
Divisão de polinômios por polinômios

Como o grau de R(x) é menor que o grau de B(x), o processo de divisão se encerra. Então, a divisão do polinômio A(x) = 3x³ + 2x² + 2x – 1 pelo polinômio B(x) = x² + x + 2 resulta no polinômio Q(x) = 3x – 1.


Jean Carlos Novaes by