Conjuntos numéricos, na matemática, são os conjuntos que representam a classe dos números e são representados por 5 (cinco) grandes conjuntos:
- O conjunto dos números reais, representado pela letra R, e contém todos os outros conjuntos;
- O conjunto dos números irracionais, representado pela letra I, está contido no conjunto R;
- O conjunto dos números racionais, representado pela letra Q, também está contido no conjunto dos números reais;
- O conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, e está contido no conjunto Q e o conjunto R;
- E, por fim, o conjunto dos números naturais, representado pela letra N, que, por sua vez, está contido nos conjuntos Z, Q, e R.
Podemos dizer também que o conjunto dos números naturais N é subconjunto de Z, sendo Z subconjunto de Q, que é subconjunto de R, logo N é subconjunto de Z, de Q, e de R.
Essa analogia é válida para Z que é subconjunto de Q, sendo Q subconjunto de R, logo Z é subconjunto de R. Apenas o conjunto dos números irracionais I é subconjunto de R.
Um conjunto é subconjunto de outro quando seus elementos são também elementos deste outro conjunto, ou seja, quando todos os elementos de um pertence ao outro.
Por exemplo, os elementos de N também são elementos de Z, de Q e de R. Tudo isso pode ser melhor visualizado na imagem abaixo, onde temos as relações de inclusão entre os conjuntos numéricos.
Pela imagem podemos ver a relação de inclusão dos conjuntos. Assim, podemos representar dessa forma: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, analogamente, também vale o seguinte, R ⊃ Q ⊃ Z ⊃ N; e I ⊂ R ou R ⊃ I. Logo, podemos afirmar que R é formado pela união de Q e I. (R = R ∪ I)
Símbolos: ⊂ (está contido), e ⊃ (contém)
Conjunto dos números naturais (N)
O conjunto dos números naturais é representado pela letra N, contendo os números positivos incluindo o 0 (zero).
- N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
É um conjunto infinito, não dá para representar todos os números, assim as reticências (…) indica que é um conjunto infinito. Também pode ser representado da seguinte forma:
- N = {x ∈ N | x ≥ 0 }
Subconjuntos dos números naturais
Temos alguns conjuntos derivados do conjunto dos números naturais, são eles:
- N* = {1, 2, 3, 4, 5, …}; conjuntos dos números naturais não-nulos, ou seja, sem o zero;
- Np = {0, 2, 4, 6, 8, …}; conjunto dos números naturais pares;
- Ni = {1, 3, 5, 7, 9; …}; conjunto dos números naturais ímpares;
- P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}; conjunto dos números naturais primos.
Todos esses conjuntos estão contidos no conjunto dos números naturais, portanto, são subconjuntos dele.
Conjunto dos números inteiros (Z)
O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z, contendo todos os números naturais e os números negativos, que são os números opostos aos positivos.
Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…}
Também é um conjunto infinito nas duas extremidades.
Subconjunto dos números inteiros
- Z* = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5,…}; conjunto dos números inteiros que não contem o zero, não-nulos;
- Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}; conjunto dos números inteiros positivos, isto é, sem os números negativos;
- Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, …}; conjuntos dos números inteiros positivos e sem o zero;
- Z– = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}; conjunto dos números inteiros negativos;
- Z*– = {…, -5, -4, -3, -2, -1}; conjuntos dos números inteiros negativos e sem o zero.
Conjuntos dos números racionais (Q)
O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q, contendo os números inteiros, forma decimal exata, os números na forma periódica ou na forma de fração.
É um conjunto infinito também.
Números decimais na forma exata: Ex. {2,2; 5,432; 23,00009}
Números decimais na forma periódica: Ex. {3,2222…; 12,11111…; 40,12121212…}
Subconjunto dos números racionais (Q)
- Q* conjuntos dos números racionais sem o zero;
- Q+ conjuntos dos números racionais positivos;
- Q*+ conjuntos dos números racionais positivos e sem o zero;
- Q– conjuntos dos números racionais negativos;
- Q*– conjuntos dos números racionais negativos e sem o zero.
Conjuntos dos números irracionais (I)
O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I, contendo todos os números decimais não exatos e não periódicos.
Exemplos: 4,21315… ou 5,122030…
É um conjunto infinito.
Conjuntos dos números reais (R)
O conjunto dos números reais é representado pela letra R, contendo todos os conjuntos anteriormente citados. Assim, R é a união dos conjuntos N, Z, Q e I.
Subconjunto dos números reais
- R* conjunto dos números reais sem o zero;
- R+ conjunto dos números reais positivos;
- R*+ conjunto dos números reais e sem o zero;
- R– conjunto dos números reais negativos;
- R*– conjunto dos números reais negativos e sem o zero.
Intervalos numéricos
Uma maneira de representar conjuntos numéricos na matemática é através dos intervalos numéricos. É importante lembrar que só é possível representar intervalos numéricos para os conjuntos e subconjuntos do conjunto dos números reais.
Veja a seguir os tipos de intervalos:
Intervalo com extremos abertos
]a,b[ = {x ∈ R│a < x < b}
Intervalo com extremos fechados
[a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}
Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda
[a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x < b}
Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita
]a,b] = {x ∈ R│a < x ≤ b}
Exercícios
Acesse os exercícios no link a seguir:
Bons estudos!
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