Plangeometri beskriver figurer vars relevanta punkter ligger i ett och samma tvådimensionella plan. Den börjar med idealiserade objekt som punkter och linjer och bygger sedan vidare med sträckor, vinklar, månghörningar och cirklar. Mätning ger dessa relationer en skala. Längd mäter en sträcka, omkrets följer en begränsningslinje och area mäter området innanför den.
Från en punkt till en sluten figur
En punkt anger ett läge men har varken längd eller area. En rät linje fortsätter utan slut i båda riktningarna. En stråle har en ändpunkt, medan en sträcka har två. Två strålar med gemensam ändpunkt bildar en vinkel. Parallella linjer möts aldrig i det euklidiska planet. Vinkelräta linjer möts i en rät vinkel. Definitionerna är viktiga eftersom en konstruktion eller ett bevis beror på vad som kan fortsätta obegränsat och vad som är avgränsat.
En månghörning är en sluten kedja av raka sträckor. Trianglar har tre sidor, fyrhörningar har fyra och regelbundna månghörningar har lika långa sidor och lika stora inre vinklar. En cirkel är inte en månghörning. Den består av alla punkter på ett bestämt avstånd från en medelpunkt, medan cirkelskivan även omfattar det inre området. Cirkelns omkrets är längden på dess rand.
Måttet avgör vilken formel som behövs
Omkrets anges i längdenheter eftersom den är summan av begränsningslinjens längder. Area anges i kvadratenheter eftersom den mäter tvådimensionell täckning. För en rektangel ger basen gånger den vinkelräta höjden arean, medan summan av alla fyra sidor ger omkretsen. En triangel med samma bas och höjd har hälften av rektangelns area. För en cirkel används radien både till omkrets och area, men exponenten och enheten skiljer storheterna åt.
Sätt inte in en sned sida i stället för en vinkelrät höjd. I en parallellogram eller triangel står höjden vinkelrätt mot den valda basen och kan hamna utanför den ritade figuren. I en parallelltrapets är de parallella sidorna baser och höjden är det vinkelräta avståndet mellan de linjer som innehåller dem.
Kongruenta, likformiga och areamässigt lika figurer är inte samma sak
Kongruenta figurer sammanfaller efter en stel rörelse, så alla motsvarande längder och vinklar är lika. Likformiga figurer har lika stora motsvarande vinklar och proportionella längder. Om längdskalan är , är areaskalan . Två figurer kan också ha samma area utan att vara likformiga eller kongruenta. En rektangel med måtten 6 gånger 4 och en med måtten 8 gånger 3 har båda arean 24 kvadratenheter, men deras omkretsar och former skiljer sig åt.
Koordinater ger ännu ett sätt att beskriva en figur. Horisontella och vertikala skillnader bildar en rätvinklig triangel, så avståndsformeln följer av Pythagoras sats. Riktningskoefficienten anger riktningen, och en månghörnings area kan beräknas från koordinater när det inte finns någon enkel uppdelning i bas och höjd.
Exempel: ta bort ett hörn från en rektangel
Börja med en rektangel som är 8 m gånger 6 m och ta bort en rektangel på 3 m gånger 2 m från ett hörn. Subtrahera det borttagna området för att få arean. För omkretsen följer du den nya begränsningslinjen i ordning. De två yttre sträckor som tas bort ersätts av inre sträckor med samma sammanlagda längder. Just den här typen av hörnurtag ändrar därför inte omkretsen.
Att omkretsarna blir lika gäller särskilt för ett rektangulärt urtag i ett hörn. Ett hål som skärs helt inne i figuren skapar en ny inre begränsningslinje. Ett urtag med sneda eller böjda kanter kan ändra summan på ett annat sätt. En skiss av begränsningslinjen hindrar dig från att använda en inlärd regel utanför dess villkor.
Dela upp sammansatta områden före beräkningen
Många planritningar, tomter och mekaniska profiler är sammansatta figurer. Dela området i rektanglar, trianglar eller cirkelsektorer som inte överlappar varandra. Du kan också omsluta det med en större figur och subtrahera de delar som saknas. Markera varje härledd längd före beräkningen och behåll full precision till slutet. Om problemet faktiskt är tredimensionellt ska du gå vidare till rymdgeometri i stället för att lägga kubikenheter till en formel för plan area.
