La geometría plana describe figuras cuyos puntos relevantes están en una misma superficie bidimensional. Comienza con objetos ideales, como puntos y rectas, y construye con ellos segmentos, ángulos, polígonos y circunferencias. Las mediciones añaden una escala a esas relaciones. La longitud mide un recorrido, el perímetro sigue un contorno y el área mide la región encerrada por ese contorno.
Del punto a una figura cerrada
Un punto marca una posición, pero no tiene longitud ni área. Una recta se prolonga indefinidamente en ambas direcciones. Una semirrecta tiene un origen, mientras que un segmento tiene dos extremos. Dos semirrectas con el mismo origen forman un ángulo. Las rectas paralelas no se cortan en el plano euclídeo; las perpendiculares se cortan formando un ángulo recto. Estas definiciones importan porque una construcción o demostración depende de qué objetos se prolongan y cuáles están limitados.
Un polígono es una cadena cerrada de segmentos rectos. Los triángulos tienen tres lados, los cuadriláteros tienen cuatro y los polígonos regulares tienen lados y ángulos interiores iguales. Una circunferencia no es un polígono. Es el conjunto de puntos que están a una distancia fija de un centro, mientras que el círculo incluye la región interior. La longitud de la circunferencia es el perímetro del círculo.
La magnitud pedida determina la fórmula adecuada
El perímetro emplea unidades lineales porque suma longitudes del contorno. El área usa unidades cuadradas porque mide una cobertura bidimensional. En un rectángulo, multiplicar la base por la altura perpendicular da el área, mientras que sumar los cuatro lados da el perímetro. Un triángulo con la misma base y altura ocupa la mitad del área del rectángulo. En un círculo, tanto la longitud de la circunferencia como el área dependen del radio, pero el exponente y las unidades distinguen ambas magnitudes.
No sustituyas una altura perpendicular por un lado inclinado. En un paralelogramo o triángulo, la altura corta la base elegida en ángulo recto y puede caer fuera de la figura dibujada. En un trapecio, los lados paralelos son las bases y la altura es la distancia perpendicular entre las rectas que las contienen.
Congruencia, semejanza e igualdad de áreas no significan lo mismo
Dos figuras congruentes coinciden después de un movimiento rígido, de modo que todas sus longitudes y ángulos correspondientes son iguales. Las figuras semejantes tienen ángulos correspondientes iguales y longitudes proporcionales. Si el factor de escala longitudinal es , el factor de escala del área es . Dos figuras también pueden tener la misma área sin ser semejantes ni congruentes. Un rectángulo de 6 por 4 y otro de 8 por 3 tienen ambos un área de 24 unidades cuadradas, pero sus perímetros y formas son diferentes.
Las coordenadas aportan otra descripción. Las diferencias horizontal y vertical forman un triángulo rectángulo, de modo que la fórmula de la distancia se deduce del teorema de Pitágoras. La pendiente describe una dirección, y el área de un polígono puede calcularse con coordenadas cuando no hay una descomposición cómoda en bases y alturas.
Ejemplo resuelto: quitar una esquina de un rectángulo
Parte de un rectángulo de 8 m por 6 m y retira de una esquina un rectángulo de 3 m por 2 m. Resta la región retirada para obtener el área. Para calcular el perímetro, recorre el nuevo contorno en orden. Los dos segmentos exteriores eliminados se sustituyen por segmentos interiores con las mismas longitudes totales, por lo que este corte particular no modifica el perímetro.
Esta igualdad de perímetros es específica de un corte rectangular hecho en una esquina. Un hueco situado por completo en el interior añadiría un nuevo contorno interno. Una muesca con lados inclinados o curvos podría cambiar el total de otra manera. Dibujar el contorno evita aplicar una regla memorizada fuera de las condiciones en las que funciona.
Descompón las regiones complejas antes de calcular
Muchos planos de viviendas, terrenos y perfiles mecánicos son figuras compuestas. Divide la región en rectángulos, triángulos o sectores circulares que no se solapen, o inscríbela en una figura mayor y resta las partes ausentes. Marca todas las longitudes deducidas antes de calcular y conserva la precisión completa hasta el final. Si el problema es realmente tridimensional, pasa a la geometría espacial en vez de añadir unidades cúbicas a una fórmula de área plana.
