Tasogeometria kuvaa kuvioita, joiden olennaiset pisteet ovat samalla kaksiulotteisella tasolla. Se alkaa ihanteellisista kohteista, kuten pisteistä ja suorista, ja rakentaa niiden avulla janoja, kulmia, monikulmioita ja ympyröitä. Mittaaminen liittää näihin suhteisiin mittakaavan. Pituus mittaa reittiä, piiri seuraa rajaa ja pinta-ala mittaa rajan sisään jäävää aluetta.
Pisteestä suljetuksi kuvioksi
Piste ilmaisee sijainnin, mutta sillä ei ole pituutta eikä pinta-alaa. Suora jatkuu rajatta molempiin suuntiin. Puolisuoralla on yksi päätepiste ja janalla kaksi. Kaksi samasta päätepisteestä alkavaa puolisuoraa muodostaa kulman. Yhdensuuntaiset suorat eivät kohtaa euklidisella tasolla; kohtisuorat suorat leikkaavat toisensa suorassa kulmassa. Määritelmät ovat tärkeitä, koska konstruktion tai todistuksen kannalta ratkaisee, mikä jatkuu rajatta ja mikä on rajattu.
Monikulmio on suljettu suorien janojen ketju. Kolmiossa on kolme sivua, nelikulmiossa neljä, ja säännöllisessä monikulmiossa sivut sekä sisäkulmat ovat yhtä suuret. Ympyrä ei ole monikulmio. Ympyrän kehä koostuu pisteistä, jotka ovat samalla etäisyydellä keskipisteestä, ja ympyräalue sisältää myös kehän sisäpuolen. Kehän pituus on ympyrän piiri.
Mitattava suure ratkaisee oikean kaavan
Piiri käyttää pituusyksiköitä, koska siinä lasketaan yhteen rajan pituuksia. Pinta-ala käyttää neliöyksiköitä, koska se mittaa kaksiulotteista peittoa. Suorakulmion pinta-ala saadaan kertomalla kanta kohtisuoralla korkeudella, kun taas neljän sivun summa antaa piirin. Kolmio, jolla on sama kanta ja korkeus, peittää puolet suorakulmion pinta-alasta. Ympyrässä sekä kehän pituus että pinta-ala riippuvat säteestä, mutta potenssi ja yksiköt erottavat suureet toisistaan.
Älä korvaa kohtisuoraa korkeutta vinolla sivulla. Suunnikkaassa tai kolmiossa korkeus kohtaa valitun kannan suorassa kulmassa ja voi osua piirretyn kuvion ulkopuolelle. Puolisuunnikkaassa yhdensuuntaiset sivut ovat kannat, ja korkeus on niitä pitkin kulkevien suorien kohtisuora etäisyys.
Yhtenevyys, yhdenmuotoisuus ja sama pinta-ala eivät tarkoita samaa
Yhtenevät kuviot asettuvat päällekkäin jäykän liikkeen jälkeen, joten kaikki vastinsivut ja vastinkulmat ovat yhtä suuret. Yhdenmuotoisilla kuvioilla on yhtä suuret vastinkulmat ja verrannolliset pituudet. Jos pituuksien mittakaavakerroin on , pinta-alojen mittakaavakerroin on . Kahdella kuviolla voi olla sama pinta-ala, vaikka ne eivät olisi yhdenmuotoisia tai yhteneviä. Suorakulmioiden 6 kertaa 4 ja 8 kertaa 3 pinta-ala on sama 24 neliöyksikköä, mutta niiden piirit ja muodot ovat erilaiset.
Koordinaatit tarjoavat toisen kuvauksen. Vaaka- ja pystysuuntaiset erot muodostavat suorakulmaisen kolmion, joten etäisyyskaava seuraa Pythagoraan lauseesta. Kulmakerroin kuvaa suuntaa, ja monikulmion pinta-ala voidaan laskea koordinaateista, kun kuviota ei ole helppo jakaa kantoihin ja korkeuksiin perustuviin osiin.
Laskettu esimerkki: poista suorakulmion kulma
Aloita suorakulmiosta, jonka mitat ovat 8 m ja 6 m. Poista yhdestä kulmasta suorakulmio, jonka mitat ovat 3 m ja 2 m. Vähennä poistettu alue alkuperäisestä pinta-alasta. Piiriä varten kulje uusi raja järjestyksessä ympäri. Kaksi poistettua ulkoreunan osaa korvautuu sisäreunan osilla, joiden yhteispituudet ovat samat. Siksi juuri tämä kulmaleikkaus ei muuta piiriä.
Piirien yhtäsuuruus koskee nimenomaan kulmasta poistettua suorakulmaista osaa. Kokonaan kuvion sisälle leikattu reikä lisäisi uuden sisärajan. Vinoilla tai kaarevilla sivuilla tehty lovi voisi muuttaa kokonaispituutta toisella tavalla. Rajan piirtäminen estää muistettua sääntöä joutumasta käyttöön tilanteessa, jossa sen ehdot eivät täyty.
Jaa monimutkainen alue osiin ennen laskemista
Monet pohjapiirrokset, tontit ja mekaaniset profiilit ovat yhdistettyjä kuvioita. Jaa alue päällekkäin menemättömiin suorakulmioihin, kolmioihin tai ympyräsektoreihin. Voit myös ympäröidä sen suuremmalla kuviolla ja vähentää puuttuvat osat. Merkitse jokainen johdettu pituus ennen laskemista ja säilytä täysi tarkkuus loppuun saakka. Jos ongelma on aidosti kolmiulotteinen, siirry avaruusgeometriaan sen sijaan, että liittäisit kuutioyksiköitä tasokuvion pinta-alakaavaan.
