Geometria płaska opisuje figury, których istotne punkty leżą na jednej dwuwymiarowej powierzchni. Zaczyna od obiektów idealnych, takich jak punkty i proste, a następnie buduje odcinki, kąty, wielokąty i okręgi. Miary nadają tym relacjom skalę: długość mierzy drogę, obwód przebiega wzdłuż brzegu, a pole opisuje obszar zamknięty tym brzegiem.
Od punktu do figury zamkniętej
Punkt wyznacza położenie, ale nie ma długości ani pola. Prosta rozciąga się bez końca w obu kierunkach. Półprosta ma jeden początek, a odcinek dwa końce. Dwie półproste o wspólnym początku tworzą kąt. Proste równoległe nie przecinają się w płaszczyźnie euklidesowej, a prostopadłe spotykają się pod kątem prostym. Te definicje są ważne, ponieważ konstrukcja lub dowód zależą od tego, co jest ograniczone, a co przedłuża się bez końca.
Wielokąt jest zamkniętym łańcuchem odcinków. Trójkąt ma trzy boki, czworokąt cztery, a wielokąt foremny ma równe boki i równe kąty wewnętrzne. Okrąg nie jest wielokątem. Jest zbiorem punktów położonych w stałej odległości od środka, natomiast koło obejmuje również obszar wewnętrzny. Długość okręgu jest obwodem koła.
Wielkość decyduje o wyborze wzoru
Obwód używa jednostek liniowych, ponieważ sumuje długości brzegu. Pole używa jednostek kwadratowych, ponieważ mierzy pokrycie dwuwymiarowe. Pole prostokąta jest iloczynem podstawy i prostopadłej wysokości, a obwód sumą czterech boków. Trójkąt o tej samej podstawie i wysokości zajmuje połowę pola prostokąta. W kole promień występuje zarówno we wzorze na obwód, jak i na pole, lecz potęga oraz jednostki rozróżniają wyniki.
Bok ukośny nie zastępuje wysokości prostopadłej. W równoległoboku lub trójkącie wysokość przecina wybraną podstawę pod kątem prostym i może wypaść poza narysowaną figurę. W trapezie podstawami są boki równoległe, a wysokością prostopadła odległość między prostymi, które je zawierają.
Przystawanie, podobieństwo i równość pól
Figury przystające nakładają się po przesunięciu, obrocie lub odbiciu, dlatego wszystkie odpowiadające długości i kąty są równe. Figury podobne mają równe odpowiadające kąty i proporcjonalne długości. Gdy skala długości wynosi , skala pól wynosi . Dwie figury mogą mieć takie samo pole, nie będąc podobne ani przystające. Prostokąt 6 na 4 i prostokąt 8 na 3 mają pole 24, lecz różne kształty i obwody.
Współrzędne dają inny sposób opisu. Różnice poziome i pionowe tworzą trójkąt prostokątny, dlatego wzór na odległość wynika z twierdzenia Pitagorasa. Współczynnik kierunkowy opisuje nachylenie prostej, a pole wielokąta można wyznaczyć ze współrzędnych, gdy podział na figury z wygodną podstawą i wysokością nie jest widoczny.
Przykład: wycięcie narożnika prostokąta
Z prostokąta 8 m na 6 m wycinamy w narożniku prostokąt 3 m na 2 m. Pole otrzymujemy przez odjęcie brakującego fragmentu. Obwód wyznaczamy, obchodząc nową granicę po kolei. Dwa usunięte odcinki zewnętrzne zostają zastąpione odcinkami wewnętrznymi o tej samej łącznej długości, więc w tym szczególnym przypadku obwód się nie zmienia.
Równość obwodów dotyczy prostokątnego wycięcia z narożnika. Otwór wycięty całkowicie wewnątrz dodałby nową granicę. Wcięcie z bokami ukośnymi albo krzywymi mogłoby zmienić sumę inaczej. Narysowanie i prześledzenie brzegu zapobiega stosowaniu zapamiętanej reguły poza jej warunkami.
Najpierw rozkład figury złożonej
Plany pomieszczeń, działki i profile techniczne często są figurami złożonymi. Można podzielić obszar na niepokrywające się prostokąty, trójkąty lub wycinki koła, albo otoczyć go większą figurą i odjąć brakujące części. Warto oznaczyć każdą wyznaczoną długość i zaokrąglić dopiero na końcu. Jeśli pytanie jest naprawdę trójwymiarowe, trzeba użyć geometrii przestrzennej, a nie dopisywać jednostek sześciennych do wzoru na pole.
