Geometria przestrzenna bada obiekty mające trzy niezależne wymiary. Model może mieć długość, szerokość i wysokość, lecz potrzebne wielkości zależą od obiektu: krawędzie i przekątne są długościami, ściany i powierzchnie zakrzywione składają się na pole, a zajmowana przestrzeń jest objętością. Rozdzielenie tych wielkości i jednostek chroni przed użyciem poprawnego wzoru do niewłaściwego pytania.
Wielościany oraz bryły z powierzchnią krzywą
Wielościan jest ograniczony płaskimi ścianami wielokątnymi. Graniastosłup ma dwie przystające, równoległe podstawy połączone równoległobokami. Ostrosłup ma jedną wielokątną podstawę i trójkątne ściany boczne zbiegające się w wierzchołku. Sześcian i prostopadłościan są szczególnymi graniastosłupami. Dla wielościanu wypukłego liczby wierzchołków, krawędzi i ścian spełniają wzór Eulera. Sześcian ma 8 wierzchołków, 12 krawędzi i 6 ścian, więc odpowiednia suma naprzemienna wynosi 2.
Walec, stożek i kula nie są wielościanami, ponieważ część ich powierzchni jest krzywa. Walec prosty o podstawie kołowej ma dwie kołowe podstawy i wysokość prostopadłą do nich. Stożek prosty zwęża się od kołowej podstawy do wierzchołka. Każdy punkt sfery znajduje się w tej samej odległości od środka. Promień, wysokość prostopadła i tworząca są różnymi odcinkami i nie wolno ich zamieniać we wzorach.
Pole opisuje okrycie, a objętość wypełnienie
Siatka rozkłada powierzchnię bryły na płaskie figury i ułatwia zrozumienie wzorów na pole. Zamknięty walec ma dwie kołowe podstawy oraz powierzchnię boczną, która po rozwinięciu staje się prostokątem. Objętość wykorzystuje pole przekroju i wysokość prostopadłą. Objętość graniastosłupa i walca jest iloczynem pola podstawy i wysokości. Ostrosłup lub stożek o tej samej podstawie i wysokości ma jedną trzecią tej objętości.
Jednostki ujawniają wiele pomyłek. Długości w centymetrach prowadzą do pola w centymetrach kwadratowych i objętości w centymetrach sześciennych. Jeśli każdą długość pomnożymy przez , pole wzrośnie razy, a objętość razy. Podwojenie wszystkich wymiarów zwiększa więc objętość ośmiokrotnie, nie dwukrotnie.
Przykład: prostopadłościan 5 na 3 na 2
Rozważmy zamknięte pudełko o bokach 5 cm, 3 cm i 2 cm. Objętość jest iloczynem trzech wzajemnie prostopadłych wymiarów. Powierzchnia ma po dwie ściany każdego typu: 5 na 3, 5 na 2 i 3 na 2. Przekątna bryły wynika z trójwymiarowej wersji zależności pitagorejskiej.
Wyniki są zgodne z geometrią: objętość wynosi 30 cm³, pole powierzchni 62 cm², a przekątna cm, czyli około 6,16 cm. Jest dłuższa od każdej krawędzi, ale krótsza od drogi biegnącej wzdłuż kilku krawędzi.
Przekroje pokazują ukrytą geometrię płaską
Przecięcie bryły płaszczyzną daje dwuwymiarowy przekrój. Przekrój graniastosłupa równoległy do podstawy ma taki sam kształt i rozmiar jak podstawa. Ukośny przekrój prostopadłościanu może być prostokątem, którego bok jest przekątną ściany. Przekrój kuli przez środek jest jej największym kołem. Dzięki przekrojom wzory z geometrii płaskiej rozwiązują pytania przestrzenne.
Rzeczywiste pojemniki mogą mieć grubość ścian, zaokrąglone narożniki lub otwarte ściany. Przed interpretacją wyniku dotyczącego materiału lub pojemności należy określić, czy użyto wymiarów wewnętrznych czy zewnętrznych i czy powierzchnia jest zamknięta.
W bryle złożonej objętości części rozłącznych można dodawać lub odejmować, ale pole powierzchni wymaga większej ostrożności. Ściana, na której dwie części są sklejone, staje się powierzchnią wewnętrzną i nie należy jej liczyć jako zewnętrznego pokrycia. Szkic przekroju oraz zaznaczenie widocznych ścian pomaga uniknąć podwójnego liczenia.
