A geometria no espaço estuda objetos com três dimensões independentes. Um modelo pode ter comprimento, largura e altura, mas as medidas úteis dependem do objeto: arestas e diagonais são comprimentos, faces e superfícies curvas contribuem para a área, e o espaço ocupado corresponde ao volume. Separar estas dimensões e as respetivas unidades é a primeira precaução para não aplicar os números certos na fórmula errada.
Poliedros e sólidos com superfícies curvas
Um poliedro é limitado por faces poligonais planas. Os prismas têm duas bases paralelas e congruentes, ligadas por paralelogramos. As pirâmides têm uma base poligonal e faces laterais triangulares que se encontram num vértice. O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas particulares. Num poliedro convexo, os números de vértices, arestas e faces obedecem à relação de Euler. Um cubo tem 8 vértices, 12 arestas e 6 faces, pelo que a soma alternada é 2.
Cilindros, cones e esferas não são poliedros, porque pelo menos uma parte da sua superfície é curva. Um cilindro circular reto tem bases circulares e uma altura perpendicular. Um cone circular reto estreita-se desde uma base circular até ao vértice. Todos os pontos da superfície de uma esfera estão à mesma distância do centro. Raio, altura perpendicular e geratriz são medidas diferentes e não podem ser trocadas numa fórmula.
A área mede o revestimento; o volume mede o preenchimento
Uma planificação abre a superfície em regiões planas, o que ajuda a compreender as fórmulas de área. Um cilindro fechado, por exemplo, tem duas bases circulares e uma superfície lateral que se torna retangular quando é desenrolada. O volume combina a área de uma secção transversal com uma altura perpendicular. Qualquer prisma ou cilindro tem volume igual à área da base vezes a altura. Uma pirâmide ou um cone com a mesma base e a mesma altura tem um terço desse volume.
As unidades revelam muitos erros. Um comprimento medido em centímetros produz uma área em centímetros quadrados e um volume em centímetros cúbicos. Se todos os comprimentos forem multiplicados por um fator de escala , a área é multiplicada por e o volume por . Duplicar as dimensões de um sólido torna, portanto, o volume oito vezes maior, e não apenas duas vezes maior.
Exemplo resolvido: um paralelepípedo de 5 por 3 por 2
Considere uma caixa fechada com lados de 5 cm, 3 cm e 2 cm. O volume é o produto das três dimensões perpendiculares. A superfície tem duas faces de cada tipo de retângulo: 5 por 3, 5 por 2 e 3 por 2. A diagonal espacial obedece à relação de Pitágoras em três dimensões.
Os resultados numéricos são coerentes com a geometria. O volume é 30 cm³ e a área de superfície é 62 cm². A diagonal mede cm, aproximadamente 6,16 cm. É maior do que qualquer aresta, mas menor do que a soma de um percurso feito por várias arestas.
As secções revelam geometria plana escondida
O corte de um sólido por um plano produz uma secção bidimensional. Uma secção paralela à base de um prisma tem a mesma forma e as mesmas dimensões dessa base. Um corte diagonal num paralelepípedo retângulo pode formar um retângulo cujo lado é uma diagonal de face. Uma esfera cortada pelo centro produz a sua maior secção circular. Estas secções permitem resolver problemas espaciais com fórmulas planas e ligam este tema à geometria plana.
Recipientes reais podem ter espessura, cantos arredondados ou faces abertas. Antes de interpretar um resultado de material ou capacidade, indique se o modelo usa medidas interiores ou exteriores e se a superfície está fechada.
