La geometria solida studia oggetti con tre dimensioni indipendenti. Un modello può avere lunghezza, larghezza e altezza, ma le misure utili cambiano secondo l'oggetto: spigoli e diagonali sono lunghezze, facce e superfici curve contribuiscono all'area, mentre lo spazio occupato è il volume. Tenere separate dimensioni e unità evita di applicare una formula corretta alla grandezza sbagliata.
Poliedri e solidi con superfici curve
Un poliedro è delimitato da facce poligonali piane. I prismi hanno due basi congruenti e parallele unite da parallelogrammi. Le piramidi hanno una base poligonale e facce laterali triangolari che convergono in un vertice. Il cubo e il parallelepipedo rettangolo sono prismi particolari. In un poliedro convesso, vertici, spigoli e facce rispettano la relazione di Eulero. Il cubo ha 8 vertici, 12 spigoli e 6 facce, quindi la somma alternata vale 2.
Cilindro, cono e sfera non sono poliedri, perché almeno una parte della loro superficie è curva. Un cilindro circolare retto ha basi circolari e altezza perpendicolare. Un cono circolare retto si restringe dalla base circolare fino al vertice. Tutti i punti della sfera hanno la stessa distanza dal centro. Raggio, altezza perpendicolare e apotema del cono sono misure diverse e non possono essere scambiate nelle formule.
L'area riveste il solido, il volume lo riempie
Lo sviluppo piano apre la superficie in regioni piane e aiuta a capire le formule dell'area totale. Un cilindro chiuso, per esempio, contiene due basi circolari e una superficie laterale che, una volta srotolata, diventa un rettangolo. Il volume usa l'area di una sezione insieme a un'altezza perpendicolare. Ogni prisma e cilindro ha volume uguale all'area di base per l'altezza. Una piramide o un cono con la stessa base e la stessa altezza occupa un terzo di quel volume.
Le unità fanno emergere molti errori. Se le lunghezze sono in centimetri, l'area è in centimetri quadrati e il volume in centimetri cubi. Moltiplicando ogni lunghezza per un fattore , l'area viene moltiplicata per e il volume per . Raddoppiare tutte le dimensioni rende quindi il volume otto volte maggiore, non due.
Esempio svolto: un parallelepipedo di lati 5, 3 e 2
Consideriamo una scatola chiusa con lati di 5 cm, 3 cm e 2 cm. Il volume è il prodotto delle tre dimensioni perpendicolari. La superficie ha due facce per ciascun tipo di rettangolo: 5 per 3, 5 per 2 e 3 per 2. La diagonale dello spazio segue la relazione pitagorica in tre dimensioni.
I risultati sono coerenti con la figura: il volume è 30 cm³, l'area totale è 62 cm² e la diagonale misura cm, circa 6,16 cm. È più lunga di ogni spigolo, ma più corta di un percorso formato dalla somma di più spigoli.
Le sezioni riportano il problema sul piano
Il taglio di un solido con un piano produce una sezione bidimensionale. Una sezione parallela alla base di un prisma ha la stessa forma e la stessa misura della base. Un taglio diagonale di un parallelepipedo rettangolo può dare un rettangolo con un lato uguale alla diagonale di una faccia. Tagliando una sfera per il centro si ottiene la sezione circolare più grande. Queste sezioni permettono di usare formule piane in problemi spaziali e collegano l'argomento alla geometria piana.
I contenitori reali possono avere spessore, spigoli arrotondati o facce aperte. Prima di interpretare una quantità di materiale o una capacità, occorre dire se si usano dimensioni interne o esterne e se la superficie è chiusa.
