La geometria piana descrive figure i cui punti rilevanti appartengono a una stessa superficie bidimensionale. Parte da oggetti ideali come punti e rette, poi costruisce segmenti, angoli, poligoni e cerchi. Le misure aggiungono una scala a queste relazioni: la lunghezza misura un percorso, il perimetro segue un contorno e l'area misura la regione racchiusa da quel contorno.
Dal punto alla figura chiusa
Un punto indica una posizione, ma non ha lunghezza né area. Una retta continua senza fine in entrambe le direzioni. Una semiretta ha un'origine, mentre un segmento ha due estremi. Due semirette con la stessa origine formano un angolo. Nel piano euclideo le rette parallele non si incontrano; quelle perpendicolari formano un angolo retto. Queste definizioni contano, perché una costruzione o una dimostrazione dipende da ciò che è limitato e da ciò che prosegue indefinitamente.
Un poligono è una catena chiusa di segmenti. I triangoli hanno tre lati, i quadrilateri quattro, e i poligoni regolari hanno lati e angoli interni uguali. Il cerchio non è un poligono. La circonferenza è l'insieme dei punti a distanza fissa dal centro, mentre il cerchio comprende anche la regione interna. La lunghezza del contorno è la lunghezza della circonferenza.
Prima si sceglie la grandezza, poi la formula
Il perimetro usa unità lineari perché somma lunghezze del contorno. L'area usa unità quadrate perché misura una superficie bidimensionale. Nel rettangolo, base per altezza perpendicolare dà l'area, mentre la somma dei quattro lati dà il perimetro. Un triangolo con la stessa base e altezza occupa metà dell'area del rettangolo. Nel cerchio, sia la circonferenza sia l'area usano il raggio, ma l'esponente e le unità distinguono i due risultati.
Un lato obliquo non può sostituire l'altezza perpendicolare. In un parallelogramma o in un triangolo, l'altezza incontra la base scelta ad angolo retto e può cadere fuori dalla figura disegnata. Nel trapezio, le basi sono i lati paralleli e l'altezza è la distanza perpendicolare tra le rette che li contengono.
Congruenza, similitudine e uguaglianza delle aree
Figure congruenti coincidono dopo un movimento rigido, quindi hanno tutti i lati e gli angoli corrispondenti uguali. Figure simili hanno angoli corrispondenti uguali e lunghezze proporzionali. Se il fattore di scala delle lunghezze è , quello delle aree è . Due figure possono avere la stessa area senza essere congruenti o simili. Un rettangolo 6 per 4 e uno 8 per 3 hanno entrambi area 24, ma forma e perimetro diversi.
Le coordinate offrono un'altra descrizione. Differenze orizzontali e verticali formano un triangolo rettangolo, quindi la formula della distanza deriva dal teorema di Pitagora. Il coefficiente angolare descrive l'inclinazione di una retta; quando non è evidente una scomposizione in basi e altezze, anche l'area di un poligono può essere calcolata dalle coordinate.
Esempio svolto: togliere un angolo da un rettangolo
Partiamo da un rettangolo di 8 m per 6 m e togliamo da un angolo un rettangolo di 3 m per 2 m. Per l'area si sottrae la parte mancante. Per il perimetro si percorre in ordine il nuovo contorno. I due tratti esterni eliminati sono sostituiti da tratti interni della stessa lunghezza totale, quindi in questo caso il perimetro non cambia.
L'uguaglianza dei perimetri vale per un taglio rettangolare eseguito su un angolo. Un foro interamente interno aggiungerebbe un nuovo contorno. Una rientranza con lati inclinati o curvi potrebbe cambiare il totale in modo diverso. Disegnare e seguire il bordo evita di usare una regola memorizzata fuori dalle sue condizioni.
Scomporre una regione complessa prima del calcolo
Piante, terreni e profili meccanici sono spesso figure composte. Si può dividere la regione in rettangoli, triangoli o settori circolari senza sovrapposizioni, oppure racchiuderla in una figura più grande e sottrarre i pezzi mancanti. Conviene indicare ogni lunghezza ricavata e arrotondare soltanto alla fine. Se il problema è davvero tridimensionale, bisogna passare alla geometria solida invece di aggiungere unità cubiche a una formula di area.
