Vlakke meetkunde beschrijft figuren waarvan de relevante punten in één plat, tweedimensionaal vlak liggen. Ze begint met ideale objecten zoals punten en lijnen en bouwt daaruit lijnstukken, hoeken, veelhoeken en cirkels op. Metingen voegen een schaal toe aan die relaties. Lengte meet een afstand, omtrek volgt de grens en oppervlakte meet het gebied binnen die grens.
Van een punt naar een gesloten figuur
Een punt geeft een positie aan, maar heeft geen lengte of oppervlakte. Een lijn loopt in beide richtingen onbeperkt door. Een halfrechte heeft één beginpunt en een lijnstuk heeft twee eindpunten. Twee halfrechten met hetzelfde beginpunt vormen een hoek. Evenwijdige lijnen snijden elkaar niet in het euclidische vlak; loodrechte lijnen snijden elkaar onder een rechte hoek. Deze definities zijn belangrijk, omdat een constructie of bewijs afhangt van wat doorloopt en wat begrensd is.
Een veelhoek is een gesloten keten van rechte lijnstukken. Driehoeken hebben drie zijden, vierhoeken vier, en regelmatige veelhoeken hebben gelijke zijden en gelijke binnenhoeken. Een cirkel is geen veelhoek. De cirkel is de verzameling punten op een vaste afstand van een middelpunt, terwijl de cirkelschijf ook het binnengebied omvat. De omtrek is de lengte van de cirkellijn.
De gezochte maat bepaalt welke formule past
Omtrek gebruikt lengtematen, omdat grenslengten worden opgeteld. Oppervlakte gebruikt vierkante eenheden, omdat ze tweedimensionale bedekking meet. Bij een rechthoek geeft basis maal loodrechte hoogte de oppervlakte, terwijl de som van de vier zijden de omtrek geeft. Een driehoek met dezelfde basis en hoogte beslaat de helft van die rechthoek. Bij een cirkel wordt de straal zowel voor omtrek als oppervlakte gebruikt, maar de exponent en de eenheden maken duidelijk om welke grootheid het gaat.
Gebruik geen schuine zijde in plaats van een loodrechte hoogte. In een parallellogram of driehoek staat de hoogte loodrecht op de gekozen basis en kan zij buiten de getekende figuur vallen. In een trapezium zijn de evenwijdige zijden de bases en is de hoogte de loodrechte afstand tussen hun dragerlijnen.
Congruent, gelijkvormig en gelijk in oppervlakte is niet hetzelfde
Congruente figuren vallen na een starre beweging samen, zodat alle overeenkomstige lengten en hoeken gelijk zijn. Gelijkvormige figuren hebben gelijke overeenkomstige hoeken en evenredige lengten. Is de lengteschaal , dan is de oppervlakteschaal . Twee figuren kunnen ook dezelfde oppervlakte hebben zonder gelijkvormig of congruent te zijn. Een rechthoek van 6 bij 4 en een rechthoek van 8 bij 3 hebben beide een oppervlakte van 24 vierkante eenheden, maar hun omtrek en vorm verschillen.
Coördinaten geven een andere beschrijving. Horizontale en verticale verschillen vormen een rechthoekige driehoek, waardoor de afstandsformule uit de stelling van Pythagoras volgt. De richtingscoëfficiënt legt de richting vast. De oppervlakte van een veelhoek kan uit coördinaten worden berekend wanneer een handige ontleding met basis en hoogte niet direct zichtbaar is.
Uitgewerkt voorbeeld: een hoek uit een rechthoek verwijderen
Begin met een rechthoek van 8 m bij 6 m en verwijder bij één hoek een rechthoek van 3 m bij 2 m. Trek het ontbrekende gebied af om de oppervlakte te vinden. Loop voor de omtrek de nieuwe grens in volgorde langs. De twee verwijderde buitenstukken worden vervangen door binnenstukken met samen dezelfde lengte. Daarom blijft de omtrek bij precies deze rechthoekige uitsparing in een hoek gelijk.
Deze gelijke omtrek geldt alleen voor een rechthoekige uitsparing vanuit een hoek. Een gat dat volledig binnen de figuur ligt zou een nieuwe binnengrens toevoegen. Een inkeping met schuine of gebogen randen kan de totale lengte op een andere manier veranderen. Een schets van de grens voorkomt dat een onthouden regel buiten haar voorwaarden wordt gebruikt.
Ontleed ingewikkelde gebieden vóór de berekening
Veel plattegronden, percelen en technische profielen zijn samengestelde figuren. Verdeel het gebied in niet-overlappende rechthoeken, driehoeken of cirkelsectoren. Je kunt het ook omsluiten met een grotere vorm en de ontbrekende delen aftrekken. Markeer iedere afgeleide lengte voordat je gaat rekenen en houd de volledige nauwkeurigheid tot het einde aan. Is het probleem echt driedimensionaal, stap dan over op ruimtemeetkunde in plaats van een formule voor vlakke oppervlakte kubieke eenheden te geven.
