A geometria plana descreve figuras cujos pontos relevantes pertencem à mesma superfície bidimensional. Começa com objetos ideais, como pontos e retas, e a partir deles constrói segmentos, ângulos, polígonos e círculos. As medições acrescentam uma escala a essas relações. O comprimento mede um percurso, o perímetro acompanha uma fronteira e a área mede a região por ela delimitada.
Do ponto até uma figura fechada
Um ponto assinala uma posição, mas não tem comprimento nem área. Uma reta prolonga-se indefinidamente nos dois sentidos. Uma semirreta tem uma origem, enquanto um segmento tem duas extremidades. Duas semirretas com a mesma origem formam um ângulo. Retas paralelas não se encontram no plano euclidiano; retas perpendiculares cruzam-se num ângulo reto. Estas definições importam porque uma construção ou demonstração depende do que pode prolongar-se e do que está limitado.
Um polígono é uma cadeia fechada de segmentos de reta. Os triângulos têm três lados, os quadriláteros têm quatro e os polígonos regulares têm lados e ângulos internos iguais. Um círculo não é um polígono. A circunferência é o conjunto dos pontos que estão a uma distância fixa do centro, enquanto o disco inclui a região interior. O perímetro do círculo é o comprimento da circunferência.
A grandeza pedida determina a fórmula adequada
O perímetro usa unidades lineares porque soma comprimentos da fronteira. A área usa unidades quadradas porque mede uma cobertura bidimensional. Num retângulo, o produto da base pela altura perpendicular dá a área, enquanto a soma dos quatro lados dá o perímetro. Um triângulo com a mesma base e altura ocupa metade da área do retângulo. Num círculo, tanto o comprimento da circunferência como a área dependem do raio, mas o expoente e as unidades distinguem as duas grandezas.
Não substitua uma altura perpendicular por um lado inclinado. Num paralelogramo ou triângulo, a altura encontra a base escolhida num ângulo reto e pode ficar fora da figura desenhada. Num trapézio, os lados paralelos são as bases e a altura é a distância perpendicular entre as retas que as contêm.
Figuras congruentes, semelhantes e com a mesma área não são equivalentes
Figuras congruentes coincidem após um movimento rígido, pelo que todos os comprimentos e ângulos correspondentes são iguais. Figuras semelhantes têm ângulos correspondentes iguais e comprimentos proporcionais. Se a escala dos comprimentos for , a escala das áreas será . Duas figuras também podem ter a mesma área sem serem semelhantes ou congruentes. Um retângulo de 6 por 4 e outro de 8 por 3 têm ambos 24 unidades quadradas de área, mas os seus perímetros e formas são diferentes.
As coordenadas oferecem outra descrição. As diferenças horizontal e vertical formam um triângulo retângulo, por isso a fórmula da distância resulta do teorema de Pitágoras. O declive regista a direção, e a área de um polígono pode ser calculada pelas coordenadas quando não existe uma decomposição conveniente em base e altura.
Exemplo resolvido: retirar um canto de um retângulo
Comece com um retângulo de 8 m por 6 m e retire de um canto um retângulo de 3 m por 2 m. Subtraia a região removida para obter a área. Para calcular o perímetro, percorra a nova fronteira pela ordem correta. Os dois segmentos exteriores retirados são substituídos por segmentos interiores com os mesmos comprimentos totais, pelo que este corte particular não altera o perímetro.
Esta igualdade de perímetros é própria de um corte retangular feito num canto. Um buraco inteiramente no interior da figura acrescentaria uma nova fronteira interna. Um entalhe com lados inclinados ou curvos poderia alterar o total de outra maneira. Desenhar a fronteira evita que uma regra memorizada seja usada fora das condições em que funciona.
Decomponha regiões complexas antes de calcular
Muitas plantas, terrenos e peças mecânicas são figuras compostas. Divida a região em retângulos, triângulos ou setores circulares que não se sobreponham, ou envolva-a numa figura maior e subtraia as partes em falta. Marque todos os comprimentos deduzidos antes de começar e conserve a precisão total até ao fim. Se o problema for realmente tridimensional, passe para a geometria no espaço em vez de acrescentar unidades cúbicas a uma fórmula de área plana.
