Plangeometri beskriver figurer der de relevante punktene ligger i én flat, todimensjonal flate. Den begynner med ideelle objekter som punkter og linjer og bygger derfra linjestykker, vinkler, polygoner og sirkler. Målinger tilfører en målestokk til disse forholdene. Lengde måler en strekning, omkrets følger en grense, og areal måler området som grensen omslutter.
Fra et punkt til en lukket figur
Et punkt markerer en posisjon, men har verken lengde eller areal. En linje strekker seg uendelig i begge retninger. En halvlinje har ett endepunkt, mens et linjestykke har to. To halvlinjer med felles endepunkt danner en vinkel. Parallelle linjer møtes ikke i det euklidiske planet; vinkelrette linjer møtes i en rett vinkel. Definisjonene er viktige fordi en konstruksjon eller et bevis avhenger av hva som kan forlenges, og hva som er avgrenset.
Et polygon er en lukket kjede av rette linjestykker. Trekanter har tre sider, firkanter har fire, og regulære polygoner har like lange sider og like store innvendige vinkler. En sirkel er ikke et polygon. Sirkellinjen er mengden av punkter med fast avstand til et sentrum, mens sirkelskiven også omfatter området innenfor. Lengden av sirkellinjen er sirkelskivens omkrets.
Målet som etterspørres, avgjør hvilken formel som er relevant
Omkrets bruker lengdeenheter fordi grenselengdene legges sammen. Areal bruker kvadratenheter fordi det måler en todimensjonal flate. I et rektangel gir grunnlinje ganger vinkelrett høyde arealet, mens summen av alle fire sider gir omkretsen. En trekant med samme grunnlinje og høyde opptar halvparten av rektangelets areal. En sirkel bruker radius i både omkrets- og arealformelen, men eksponenten og enhetene skiller de to størrelsene.
Ikke sett inn en skrå side som vinkelrett høyde. I et parallellogram eller en trekant møter høyden den valgte grunnlinjen i rett vinkel og kan ligge utenfor den tegnede figuren. I et trapes er de parallelle sidene grunnlinjene, og høyden er den vinkelrette avstanden mellom linjene som bærer dem.
Kongruente, formlike og like store arealer betyr ikke det samme
Kongruente figurer faller sammen etter en stiv bevegelse, så alle tilsvarende lengder og vinkler er like. Formlike figurer har like store tilsvarende vinkler og proporsjonale lengder. Hvis lengdenes målestokkfaktor er , er arealenes målestokkfaktor . To figurer kan også ha samme areal uten å være formlike eller kongruente. Et rektangel på 6 ganger 4 og et på 8 ganger 3 har begge areal 24 kvadratenheter, men ulike omkretser og former.
Koordinater gir en annen beskrivelse. Vannrette og loddrette forskjeller danner en rettvinklet trekant, så avstandsformelen følger av Pytagoras' læresetning. Stigningstall beskriver retning, og arealet av et polygon kan regnes ut fra koordinater når det ikke finnes en praktisk oppdeling i grunnlinjer og høyder.
Gjennomregnet eksempel: fjern et hjørne fra et rektangel
Start med et rektangel på 8 m ganger 6 m, og fjern et rektangel på 3 m ganger 2 m fra ett hjørne. Trekk det manglende området fra for å finne arealet. For omkretsen følger du den nye grensen hele veien rundt i riktig rekkefølge. De to ytre linjestykkene som fjernes, erstattes av indre linjestykker med de samme totale lengdene. Nettopp dette hjørneutskjæret endrer derfor ikke omkretsen.
At omkretsene er like, gjelder spesielt for et rektangulært utsnitt som tas fra et hjørne. Et hull som skjæres helt inne i figuren, ville legge til en ny indre grense. Et hakk med skrå eller krumme sider kunne endre totalen på en annen måte. En skisse av hele grensen hindrer at en huskeregel brukes utenfor vilkårene den gjelder for.
Del opp kompliserte områder før du regner
Mange plantegninger, tomter og mekaniske profiler er sammensatte figurer. Del området i rektangler, trekanter eller sirkelsektorer uten overlapping, eller omslutt det med en større figur og trekk fra de manglende delene. Merk alle avledede lengder før du regner, og behold full presisjon til slutt. Hvis problemet faktisk er tredimensjonalt, må du gå til romgeometri i stedet for å føye kubikkenheter til en plan arealformel.
