Plangeometri beskriver figurer, hvis relevante punkter ligger i én flad, todimensional plan. Den begynder med ideelle objekter som punkter og linjer og bygger derfra linjestykker, vinkler, polygoner og cirkler. Målinger føjer en skala til relationerne. Længde måler en strækning, omkreds følger en grænse, og areal måler det område, som grænsen omslutter.
Fra et punkt til en lukket figur
Et punkt markerer en position, men har hverken længde eller areal. En linje fortsætter uendeligt i begge retninger. En halvlinje har ét endepunkt, mens et linjestykke har to. To halvlinjer med samme endepunkt danner en vinkel. Parallelle linjer mødes ikke i den euklidiske plan; vinkelrette linjer mødes i en ret vinkel. Definitionerne er vigtige, fordi en konstruktion eller et bevis afhænger af, hvad der kan forlænges, og hvad der er afgrænset.
En polygon er en lukket kæde af rette linjestykker. Trekanter har tre sider, firkanter har fire, og regulære polygoner har lige lange sider og lige store indvendige vinkler. En cirkel er ikke en polygon. En cirkellinje er mængden af punkter med en fast afstand til et centrum, mens cirkelskiven også omfatter det indre område. Cirkellinjens længde er cirkelskivens omkreds.
Den ønskede størrelse afgør, hvilken formel der er relevant
Omkreds bruger længdeenheder, fordi grænsens længder lægges sammen. Areal bruger kvadratenheder, fordi et todimensionalt område måles. For et rektangel giver grundlinje gange vinkelret højde arealet, mens summen af de fire sider giver omkredsen. En trekant med samme grundlinje og højde optager halvdelen af rektanglets areal. En cirkel bruger sin radius til både omkreds og areal, men potensen og enhederne viser, hvilken størrelse der beregnes.
En skrå side må ikke sættes ind som vinkelret højde. I et parallelogram eller en trekant står højden vinkelret på den valgte grundlinje og kan falde uden for den tegnede figur. I et trapez er de parallelle sider grundlinjerne, og højden er den vinkelrette afstand mellem de linjer, som bærer dem.
Kongruente, ligedannede og lige store arealer er ikke det samme
Kongruente figurer kan lægges præcist oven på hinanden efter en stiv bevægelse, så alle tilsvarende længder og vinkler er ens. Ligedannede figurer har lige store tilsvarende vinkler og proportionale længder. Hvis længdernes skalafaktor er , er arealernes skalafaktor . To figurer kan også have samme areal uden at være ligedannede eller kongruente. Et rektangel på 6 gange 4 og et på 8 gange 3 har begge arealet 24 kvadratenheder, men forskellige omkredse og former.
Koordinater giver en anden beskrivelse. Vandrette og lodrette forskelle danner en retvinklet trekant, så afstandsformlen følger af Pythagoras' sætning. Hældning beskriver retning, og en polygons areal kan beregnes ud fra koordinater, når der ikke findes en enkel opdeling med grundlinjer og højder.
Gennemregnet eksempel: fjern et hjørne fra et rektangel
Begynd med et rektangel på 8 m gange 6 m, og fjern et rektangel på 3 m gange 2 m fra et hjørne. Træk det manglende område fra for at finde arealet. Når omkredsen skal findes, følges den nye grænse hele vejen rundt i rækkefølge. De to fjernede ydre linjestykker erstattes af indre linjestykker med samme samlede længder, så netop dette hjørneudsnit ikke ændrer omkredsen.
At omkredsen er uændret, gælder specifikt for et rektangulært udsnit i et hjørne. Et hul, som skæres helt inde i figuren, tilføjer en ny indre grænse. Et indhak med skrå eller krumme sider kan ændre den samlede længde på en anden måde. En skitse af grænsen forhindrer, at en huskeregel bruges uden for sine betingelser.
Opdel komplicerede områder, før du regner
Mange plantegninger, jordstykker og mekaniske profiler er sammensatte figurer. Opdel området i rektangler, trekanter eller cirkelsektorer, som ikke overlapper, eller omslut det med en større figur og træk de manglende dele fra. Markér hver udledt længde før beregningen, og behold den fulde præcision til sidst. Hvis problemet faktisk er tredimensionalt, skal du skifte til rumgeometri i stedet for at føje kubikenheder til en plan arealformel.
