Rumgeometri handler om objekter med tre uafhængige dimensioner. En model kan have længde, bredde og højde, men de relevante mål afhænger af objektet: Kanter og diagonaler er længder, flader og krumme overflader bidrager til arealet, og den plads, objektet optager, er dets rumfang. At holde både dimensionerne og enhederne adskilt er den første sikring mod at sætte de rigtige tal ind i den forkerte formel.
Polyedre og legemer med krumme overflader
Et polyeder er afgrænset af plane polygonflader. Prismer har to kongruente, parallelle grundflader, som forbindes af parallelogrammer. Pyramider har én polygonformet grundflade og trekantede sideflader, der mødes i en top. Terninger og kasser er særlige prismer. For et konvekst polyeder opfylder antallet af hjørner, kanter og flader Eulers relation. En terning har 8 hjørner, 12 kanter og 6 flader, så den alternerende sum er 2.
Cylindre, kegler og kugler er ikke polyedre, fordi mindst en del af deres overflade er krum. En ret cirkulær cylinder har cirkulære grundflader og en højde, der står vinkelret på dem. En ret cirkulær kegle går fra en cirkulær grundflade til en top. Alle punkter på en kugleoverflade har samme afstand til centrum. Radius, vinkelret højde og skrå højde er forskellige mål og kan ikke byttes om i en formel.
Overfladeareal måler beklædningen; rumfang måler indholdet
Et udfoldningsnet folder overfladen ud til plane områder og gør formlerne for overfladeareal lettere at forstå. En lukket cylinder har for eksempel to cirkulære grundflader og en sideflade, der bliver til et rektangel, når den rulles ud. Rumfang bruger arealet af et tværsnit sammen med en vinkelret højde. Ethvert prisme og enhver cylinder har et rumfang, der er lig grundfladens areal gange højden. En pyramide eller kegle med samme grundflade og højde har en tredjedel af dette rumfang.
Enhederne afslører mange fejl. En længde målt i centimeter giver overfladeareal i kvadratcentimeter og rumfang i kubikcentimeter. Hvis alle længder ganges med en skalafaktor , ganges arealet med , og rumfanget ganges med . En fordobling af alle et legemes dimensioner gør derfor rumfanget otte gange så stort, ikke blot dobbelt så stort.
Gennemregnet eksempel: en kasse på 5 gange 3 gange 2
Se på en lukket kasse med sidelængderne 5 cm, 3 cm og 2 cm. Rumfanget er produktet af de tre indbyrdes vinkelrette dimensioner. Overfladen har to flader af hver rektangeltype: 5 gange 3, 5 gange 2 og 3 gange 2. Rumdiagonalen følger den tredimensionelle udgave af Pythagoras' relation.
De numeriske resultater stemmer med geometrien. Rumfanget er 30 cm³, mens overfladearealet er 62 cm². Diagonalen er cm, omtrent 6,16 cm. Den er længere end hver enkelt kant, men kortere end summen af enhver rute, der følger flere kanter.
Tværsnit gør skjult plangeometri synlig
Når et legeme skæres af en plan, opstår et todimensionalt tværsnit. Et snit parallelt med et prismes grundflade har samme form og størrelse som grundfladen. Et diagonalt snit gennem en kasse kan være et rektangel, hvor den ene side er en fladediagonal. En kugle, der skæres gennem centrum, får sit største cirkulære tværsnit. Sådanne snit gør det muligt at løse rumlige spørgsmål med plane formler og forbinder emnet med plangeometri.
Virkelige beholdere kan have vægtykkelse, afrundede hjørner eller åbne flader. Angiv, om modellen bruger indvendige eller udvendige mål, og om overfladen er lukket, før et resultat om materiale eller kapacitet fortolkes.
