Rymdgeometri behandlar objekt med tre oberoende dimensioner. En modell kan ha längd, bredd och höjd, men vilka mått som är relevanta beror på objektet. Kanter och diagonaler är längder, sidoytor och välvda ytor bidrar till arean och det utrymme som kroppen upptar är dess volym. Att hålla isär dimensionerna och enheterna är det första skyddet mot att använda rätt tal i fel formel.
Polyedrar och kroppar med välvda ytor
En polyeder begränsas av plana månghörniga ytor. Prismor har två kongruenta och parallella basytor som förenas av parallellogram. Pyramider har en månghörnig basyta och triangulära sidoytor som möts i en spets. Kuber och rätblock är särskilda prismor. För en konvex polyeder uppfyller antalet hörn, kanter och sidoytor Eulers formel. En kub har 8 hörn, 12 kanter och 6 sidoytor, så den alternerande summan är 2.
Cylindrar, koner och klot är inte polyedrar, eftersom åtminstone en del av deras yta är välvd. En rak cirkulär cylinder har cirkelformade basytor och en höjd som står vinkelrätt mot dem. En rak cirkulär kon smalnar av från en cirkelformad basyta till en spets. Varje punkt på klotets yta ligger på samma avstånd från medelpunkten. Radie, vinkelrät höjd och mantellinje är olika mått och kan inte bytas ut mot varandra i en formel.
Begränsningsarea mäter höljet och volym mäter innehållet
Ett nät vecklar ut en kropps yta till plana områden och gör formler för begränsningsarea lättare att förstå. En sluten cylinder har till exempel två cirkelformade basytor och en rektangulär mantelyta när den vecklas ut. För volym används arean av ett tvärsnitt tillsammans med en vinkelrät höjd. Varje prisma och cylinder har volymen basytans area gånger höjden. En pyramid eller kon med samma basyta och höjd har en tredjedel av den volymen.
Enheterna avslöjar många fel. En längd mätt i centimeter ger begränsningsarea i kvadratcentimeter och volym i kubikcentimeter. Om varje längd multipliceras med en skalfaktor , multipliceras arean med och volymen med . Om en kropps alla mått fördubblas blir volymen alltså åtta gånger så stor, inte dubbelt så stor.
Exempel: ett rätblock med måtten 5, 3 och 2
Ta en sluten låda med sidlängderna 5 cm, 3 cm och 2 cm. Volymen är produkten av de tre vinkelräta måtten. Ytan består av två sidoytor av varje rektangulär typ: 5 gånger 3, 5 gånger 2 och 3 gånger 2. Rymddiagonalen följer det tredimensionella sambandet i Pythagoras sats.
De numeriska kontrollerna stämmer med geometrin. Volymen är 30 cm³ och begränsningsarean är 62 cm². Diagonalen är cm, ungefär 6,16 cm. Den är längre än varje kant men kortare än summan av vilken väg som helst längs flera kanter.
Tvärsnitt visar den dolda plana geometrin
När en kropp skärs av ett plan bildas ett tvådimensionellt tvärsnitt. Ett snitt parallellt med basytan i ett prisma har samma form och storlek som basytan. Ett diagonalt snitt genom ett rätblock kan vara en rektangel vars ena sida är lika lång som en sidoytas diagonal. Ett klot som skärs genom medelpunkten ger sitt största cirkelformade tvärsnitt. Sådana snitt gör att plana formler kan lösa rumsliga problem och knyter ämnet till plangeometri.
Verkliga behållare kan ha väggtjocklek, rundade hörn eller öppna sidor. Ange om modellen använder inre eller yttre mått och om ytan är sluten innan du tolkar ett resultat om materialåtgång eller kapacitet.
