La géométrie dans l'espace étudie des objets qui ont trois dimensions indépendantes. Un modèle peut avoir une longueur, une largeur et une hauteur, mais les mesures utiles dépendent de l'objet : les arêtes et les diagonales sont des longueurs, les faces et les surfaces courbes contribuent à l'aire, tandis que l'espace occupé correspond au volume. Séparer ces dimensions et leurs unités est la première précaution à prendre pour ne pas placer les bonnes données dans la mauvaise formule.
Polyèdres et solides à surface courbe
Un polyèdre est délimité par des faces polygonales planes. Les prismes ont deux bases parallèles et superposables reliées par des parallélogrammes. Les pyramides possèdent une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un sommet. Le cube et le pavé droit sont des prismes particuliers. Dans un polyèdre convexe, les nombres de sommets, d'arêtes et de faces vérifient la relation d'Euler. Un cube a 8 sommets, 12 arêtes et 6 faces; la somme alternée vaut donc 2.
Les cylindres, les cônes et les sphères ne sont pas des polyèdres, car une partie au moins de leur surface est courbe. Un cylindre droit à base circulaire possède deux bases circulaires et une hauteur perpendiculaire. Un cône droit à base circulaire se resserre de sa base jusqu'à son sommet. Tous les points d'une sphère sont à la même distance du centre. Le rayon, la hauteur perpendiculaire et la génératrice sont trois mesures différentes qui ne peuvent pas être interverties dans une formule.
L'aire mesure l'enveloppe; le volume mesure le contenu
Un patron déplie la surface en régions planes et rend les formules d'aire plus faciles à comprendre. Un cylindre fermé, par exemple, a deux bases circulaires et une surface latérale qui devient un rectangle lorsqu'on la déroule. Le volume utilise l'aire d'une section et une hauteur perpendiculaire. Tout prisme ou cylindre a un volume égal à l'aire de sa base multipliée par sa hauteur. Une pyramide ou un cône de même base et de même hauteur en occupe le tiers.
Les unités révèlent de nombreuses erreurs. Une longueur mesurée en centimètres donne une aire en centimètres carrés et un volume en centimètres cubes. Si toutes les longueurs sont multipliées par un facteur d'échelle , l'aire est multipliée par et le volume par . Doubler les dimensions d'un solide multiplie donc son volume par huit, et non par deux.
Exemple détaillé : un pavé droit de 5 par 3 par 2
Prenez une boîte fermée dont les côtés mesurent 5 cm, 3 cm et 2 cm. Son volume est le produit des trois dimensions perpendiculaires. Sa surface comprend deux faces de chaque type de rectangle : 5 par 3, 5 par 2 et 3 par 2. La diagonale de l'espace suit la relation de Pythagore en trois dimensions.
Les résultats numériques concordent avec la géométrie. Le volume vaut 30 cm³ et l'aire totale 62 cm². La diagonale mesure cm, soit environ 6,16 cm. Elle est plus longue que chaque arête, mais plus courte que la somme des arêtes de n'importe quel trajet reliant plusieurs sommets.
Les sections font apparaître une géométrie plane cachée
Couper un solide par un plan produit une section bidimensionnelle. Une coupe parallèle à la base d'un prisme a la même forme et les mêmes dimensions que cette base. Une coupe diagonale d'un pavé droit peut être un rectangle dont un côté est la diagonale d'une face. Une sphère coupée par son centre donne sa plus grande section circulaire. Ces sections permettent d'utiliser des formules planes pour résoudre des questions spatiales et relient ce sujet à la géométrie plane.
Les récipients réels peuvent avoir des parois épaisses, des angles arrondis ou des faces ouvertes. Avant d'interpréter un résultat concernant une quantité de matière ou une capacité, précisez si le modèle utilise les dimensions intérieures ou extérieures et si la surface est fermée.
