Die Raumgeometrie untersucht Objekte mit drei voneinander unabhängigen Dimensionen. Ein Modell kann Länge, Breite und Höhe besitzen, doch welche Maße wichtig sind, hängt vom Körper ab. Kanten und Diagonalen sind Längen, ebene Flächen und gekrümmte Mantelflächen tragen zum Oberflächeninhalt bei, und der eingenommene Raum ist das Volumen. Wer diese Dimensionen und Einheiten sauber trennt, vermeidet einen häufigen Fehler: richtige Zahlen in die falsche Formel einzusetzen.
Polyeder und Körper mit gekrümmten Flächen
Ein Polyeder wird von ebenen polygonalen Flächen begrenzt. Prismen besitzen zwei kongruente, parallele Grundflächen, die durch Parallelogramme verbunden sind. Pyramiden haben eine polygonale Grundfläche und dreieckige Seitenflächen, die sich in einer Spitze treffen. Würfel und Quader sind besondere Prismen. Für ein konvexes Polyeder erfüllen die Anzahlen von Ecken, Kanten und Flächen den Eulerschen Polyedersatz. Ein Würfel hat 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen; die entsprechende Wechselsumme ist daher 2.
Zylinder, Kegel und Kugeln sind keine Polyeder, weil wenigstens ein Teil ihrer Oberfläche gekrümmt ist. Ein gerader Kreiszylinder hat kreisförmige Grundflächen und eine dazu senkrechte Höhe. Ein gerader Kreiskegel verjüngt sich von einer Kreisfläche bis zu seiner Spitze. Jeder Punkt einer Kugeloberfläche hat denselben Abstand vom Mittelpunkt. Radius, senkrechte Höhe und Mantellinie sind verschiedene Maße und dürfen in einer Formel nicht vertauscht werden.
Oberflächeninhalt misst die Hülle, Volumen den Inhalt
Ein Netz klappt die Oberfläche in ebene Teilflächen auf und macht Formeln für den Oberflächeninhalt verständlicher. Ein geschlossener Zylinder besitzt zum Beispiel zwei Kreisflächen und eine Mantelfläche, die ausgerollt ein Rechteck ergibt. Beim Volumen wird der Flächeninhalt eines Querschnitts mit einer senkrechten Höhe verknüpft. Jedes Prisma und jeder Zylinder hat das Volumen Grundfläche mal Höhe. Eine Pyramide oder ein Kegel mit derselben Grundfläche und Höhe besitzt ein Drittel dieses Volumens.
An den Einheiten lassen sich viele Fehler erkennen. Aus einer Länge in Zentimetern entsteht ein Oberflächeninhalt in Quadratzentimetern und ein Volumen in Kubikzentimetern. Wird jede Länge mit dem Maßstabsfaktor multipliziert, wächst der Flächeninhalt um den Faktor und das Volumen um . Verdoppelt man also alle Abmessungen eines Körpers, wird sein Volumen achtmal so groß und nicht nur doppelt so groß.
Rechenbeispiel: ein Quader mit 5, 3 und 2 Zentimetern
Betrachte einen geschlossenen Quader mit den Seitenlängen 5 cm, 3 cm und 2 cm. Sein Volumen ist das Produkt der drei zueinander senkrechten Abmessungen. Seine Oberfläche enthält jeweils zwei Rechtecke der drei möglichen Typen: 5 mal 3, 5 mal 2 und 3 mal 2. Für die Raumdiagonale gilt die dreidimensionale Form des Satzes von Pythagoras.
Die Zahlen passen zur geometrischen Situation. Das Volumen beträgt 30 cm³, der Oberflächeninhalt 62 cm². Die Diagonale ist cm lang, also ungefähr 6,16 cm. Damit ist sie länger als jede einzelne Kante, aber kürzer als jeder Weg, der über mehrere Kanten von einer Ecke zur gegenüberliegenden führt.
Querschnitte zeigen verborgene ebene Geometrie
Schneidet eine Ebene einen Körper, entsteht ein zweidimensionaler Querschnitt. Ein Schnitt parallel zur Grundfläche eines Prismas hat dieselbe Form und Größe wie die Grundfläche. Ein diagonaler Schnitt durch einen Quader kann ein Rechteck sein, dessen eine Seite einer Flächendiagonale entspricht. Ein Schnitt durch den Mittelpunkt einer Kugel ergibt ihren größten kreisförmigen Querschnitt. So lassen sich räumliche Fragen mit Formeln der Ebene lösen, und das Thema wird mit der ebenen Geometrie verbunden.
Reale Behälter können Wandstärken, abgerundete Ecken oder offene Flächen haben. Bevor Materialbedarf oder Fassungsvermögen gedeutet werden, muss klar sein, ob das Modell Innen- oder Außenmaße verwendet und ob die Oberfläche geschlossen ist.
