Avaruusgeometria tutkii kappaleita, joilla on kolme toisistaan riippumatonta ulottuvuutta. Mallilla voi olla pituus, leveys ja korkeus, mutta hyödylliset suureet riippuvat kappaleesta: särmät ja lävistäjät ovat pituuksia, tahkot ja kaarevat pinnat muodostavat pinta-alan, ja kappaleen käyttämä tila on tilavuus. Ulottuvuuksien ja yksiköiden pitäminen erillään auttaa välttämään tilanteen, jossa oikeat luvut sijoitetaan väärään kaavaan.
Monitahokkaat ja kaarevapintaiset kappaleet
Monitahokasta rajaavat tasomaiset monikulmiotahkot. Prismoilla on kaksi yhtenevää ja yhdensuuntaista pohjaa, joita yhdistävät suunnikkaat. Pyramideilla on yksi monikulmion muotoinen pohja ja kolmion muotoiset sivutahkot, jotka kohtaavat huipussa. Kuutio ja suorakulmainen särmiö ovat prisman erikoistapauksia. Kuperan monitahokkaan kärkien, särmien ja tahkojen määrät toteuttavat Eulerin kaavan. Kuutiossa on 8 kärkeä, 12 särmää ja 6 tahkoa, joten vuorotteleva summa on 2.
Lieriöt, kartiot ja pallot eivät ole monitahokkaita, koska vähintään osa niiden pinnasta on kaareva. Suorassa ympyrälieriössä on ympyränmuotoiset pohjat ja niitä vastaan kohtisuora korkeus. Suora ympyräkartio kapenee ympyränmuotoisesta pohjasta huippuun. Pallopinnan jokainen piste on samalla etäisyydellä keskipisteestä. Säde, kohtisuora korkeus ja sivujanan pituus ovat eri mittoja, eikä niitä voi vaihtaa keskenään kaavassa.
Pinta-ala mittaa päällystettä; tilavuus mittaa täytettävää tilaa
Levityskuva avaa pinnan tasokuvioiksi ja tekee pinta-alan kaavoista helpommin ymmärrettäviä. Suljetussa lieriössä on esimerkiksi kaksi ympyränmuotoista pohjaa ja vaippa, joka avattuna muodostaa suorakulmion. Tilavuuden laskeminen yhdistää poikkileikkauksen pinta-alan ja sitä vastaan kohtisuoran korkeuden. Jokaisen prisman ja lieriön tilavuus on pohjan pinta-ala kertaa korkeus. Pyramidi tai kartio, jolla on sama pohja ja korkeus, täyttää kolmasosan tästä tilavuudesta.
Yksiköt paljastavat monia virheitä. Senttimetreinä mitattu pituus tuottaa pinta-alan neliösenttimetreinä ja tilavuuden kuutiosenttimetreinä. Jos jokainen pituus kerrotaan mittakaavakertoimella , pinta-ala kerrotaan luvulla ja tilavuus luvulla . Kun kappaleen kaikki mitat kaksinkertaistetaan, sen tilavuus kasvaa kahdeksankertaiseksi eikä vain kaksinkertaiseksi.
Laskettu esimerkki: särmiö, jonka mitat ovat 5, 3 ja 2
Tarkastellaan suljettua laatikkoa, jonka sivujen pituudet ovat 5 cm, 3 cm ja 2 cm. Tilavuus on kolmen toisiaan vastaan kohtisuoran mitan tulo. Pinnassa on kaksi kappaletta kutakin suorakulmiotyyppiä: 5 kertaa 3, 5 kertaa 2 ja 3 kertaa 2. Avaruuslävistäjä noudattaa Pythagoraan yhteyttä kolmessa ulottuvuudessa.
Lukuarvot ovat geometrian mukaisia. Tilavuus on 30 cm³ ja kokonaispinta-ala 62 cm². Lävistäjän pituus on cm eli noin 6,16 cm. Se on jokaista särmää pidempi mutta lyhyempi kuin useaa särmää pitkin kulkevan reitin kokonaispituus.
Poikkileikkaukset tuovat piilevän tasogeometrian näkyviin
Kun kappale leikataan tasolla, syntyy kaksiulotteinen poikkileikkaus. Prisman pohjan suuntainen leikkaus on muodoltaan ja kooltaan samanlainen kuin pohja. Suorakulmaisen särmiön läpi kulkeva vino leikkaus voi olla suorakulmio, jonka yksi sivu on tahkon lävistäjä. Keskipisteen kautta leikattu pallo antaa suurimman ympyränmuotoisen poikkileikkauksensa. Näin tasokuvioiden kaavoilla voidaan ratkaista avaruudellisia ongelmia ja yhdistää aihe tasogeometriaan.
Todellisissa astioissa voi olla seinämän paksuus, pyöristettyjä kulmia tai avoimia tahkoja. Ilmoita ennen materiaali- tai tilavuustuloksen tulkintaa, käyttääkö malli sisä- vai ulkomittoja ja onko pinta suljettu.
