La géométrie plane décrit des figures dont les points utiles appartiennent à une même surface bidimensionnelle. Elle part d'objets idéaux, comme les points et les droites, puis construit des segments, des angles, des polygones et des cercles. Les mesures ajoutent une échelle à ces relations. Une longueur mesure un trajet, le périmètre suit une frontière et l'aire mesure la région délimitée par cette frontière.
Du point à la figure fermée
Un point repère une position, mais n'a ni longueur ni aire. Une droite se prolonge indéfiniment dans les deux sens. Une demi-droite a une origine, tandis qu'un segment a deux extrémités. Deux demi-droites de même origine forment un angle. Deux droites parallèles ne se rencontrent pas dans le plan euclidien; deux droites perpendiculaires se coupent à angle droit. Ces définitions sont importantes, car une construction ou une démonstration dépend de ce qui peut se prolonger et de ce qui est borné.
Un polygone est une chaîne fermée de segments. Les triangles ont trois côtés, les quadrilatères en ont quatre et les polygones réguliers ont des côtés et des angles intérieurs égaux. Un cercle n'est pas un polygone. La circonférence est l'ensemble des points situés à une distance fixe d'un centre, tandis que le disque comprend la région intérieure. La longueur de la circonférence est le périmètre du disque.
La grandeur recherchée détermine la formule pertinente
Le périmètre emploie des unités linéaires parce qu'il additionne les longueurs de la frontière. L'aire utilise des unités carrées parce qu'elle mesure une surface bidimensionnelle. Pour un rectangle, le produit de la base par la hauteur perpendiculaire donne l'aire, tandis que la somme des quatre côtés donne le périmètre. Un triangle de même base et de même hauteur occupe la moitié de l'aire du rectangle. Dans un disque, le périmètre et l'aire dépendent tous deux du rayon, mais l'exposant et les unités distinguent ces deux grandeurs.
Ne remplacez pas une hauteur perpendiculaire par un côté oblique. Dans un parallélogramme ou un triangle, la hauteur rencontre la base choisie à angle droit et peut tomber à l'extérieur de la figure dessinée. Dans un trapèze, les côtés parallèles sont les bases et la hauteur est la distance perpendiculaire entre les droites qui les portent.
Congruence, similitude et égalité des aires sont trois notions distinctes
Deux figures isométriques coïncident après un déplacement rigide; toutes leurs longueurs et tous leurs angles correspondants sont donc égaux. Des figures semblables ont des angles correspondants égaux et des longueurs proportionnelles. Si le facteur d'échelle des longueurs vaut , celui des aires vaut . Deux figures peuvent aussi avoir la même aire sans être semblables ni isométriques. Un rectangle de 6 par 4 et un rectangle de 8 par 3 ont tous deux une aire de 24 unités carrées, mais leurs périmètres et leurs formes diffèrent.
Les coordonnées donnent une autre description. Les écarts horizontal et vertical forment un triangle rectangle, ce qui permet de déduire la formule de la distance du théorème de Pythagore. Le coefficient directeur décrit une direction, et l'aire d'un polygone peut être calculée à partir de ses coordonnées lorsqu'aucune décomposition commode en bases et hauteurs n'apparaît.
Exemple détaillé : retirer un coin d'un rectangle
Partez d'un rectangle de 8 m sur 6 m et retirez, dans un coin, un rectangle de 3 m sur 2 m. Soustrayez la région retirée pour obtenir l'aire. Pour calculer le périmètre, suivez la nouvelle frontière dans l'ordre. Les deux segments extérieurs supprimés sont remplacés par des segments intérieurs de mêmes longueurs totales; cette découpe particulière ne modifie donc pas le périmètre.
Cette égalité des périmètres est propre à une découpe rectangulaire effectuée dans un coin. Un trou entièrement découpé à l'intérieur ajouterait une nouvelle frontière intérieure. Une encoche dont les bords seraient obliques ou courbes pourrait modifier le total autrement. Tracer la frontière évite d'appliquer une règle mémorisée en dehors de ses conditions de validité.
Décomposez les régions complexes avant de calculer
De nombreux plans d'habitation, terrains et profils mécaniques sont des figures composées. Partagez la région en rectangles, triangles ou secteurs circulaires sans recouvrement, ou entourez-la d'une forme plus grande avant de soustraire les parties manquantes. Indiquez toutes les longueurs déduites avant le calcul et gardez toute la précision jusqu'à la fin. Si le problème est réellement tridimensionnel, passez à la géométrie dans l'espace au lieu d'ajouter des unités cubes à une formule d'aire plane.
