Klotets area: formel, sfärisk zon och kalott

Klotets begränsningsarea mäter den krökta utsidan, ungefär som skalet på en apelsin. Den mäter inte utrymmet inuti. Alla punkter på klotytan ligger på samma avstånd r från centrum. Avståndet är radien.

Formeln för hela klotytan

Med radien r eller diametern d gäller:

Diametern är dubbelt så lång som radien. Ersätt r med halva d för att få den andra formen. En radie i centimeter ger en area i kvadratcentimeter. π är exakt; 3,14 är bara ett närmevärde.

Exempel med radien 3 cm

Kvadrera först radien och multiplicera med 4π. För r = 3 cm är arean exakt 36π kvadratcentimeter, avrundat till två decimaler ungefär 113,10.

Beräkna klotytan från diametern 6 cm

Ett klot har diametern 6 cm. Vi söker hela den krökta arean. Formeln använder radien, så diametern får inte sättas in direkt som r.

1. Halvera diametern för att få radien 3 cm.

   $$r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3\text{cm}$$

2. Kvadrera radien innan du multiplicerar med de andra faktorerna. Storheten får enheten kvadratcentimeter.

   $$r^2=3^2=9{\text{cm}}^2$$

3. Multiplicera med 4π. Behåll först den exakta multipeln av π och avrunda sedan till två decimaler.

   $$A=4\times \pi \times 9=36\pi {\text{cm}}^2$$
   $$A\approx \mathrm{113,10}{\text{cm}}^2$$

Arean är exakt 36π kvadratcentimeter, ungefär 113,10 kvadratcentimeter. Det beskriver utsidan, inte klotets volym.

En diameter på 6 cm beskriver samma klot. Om du använder den som radie blir svaret fyra gånger för stort. Behåll π tills du avrundar slutsvaret.

Arean av en sfärisk tvåhörning

En sfärisk tvåhörning är ytbandet mellan två halva storcirklar med gemensamma ändpunkter. Dess andel av hela ytan motsvarar vinkelns andel av ett helt varv. Här mäts α i grader och θ i radianer:

De två uttrycken använder olika vinkelenheter. Vid 90° är ytan en fjärdedel av hela klotytan. Med radien 3 cm blir den 9π kvadratcentimeter. Ytan är inte samma sak som den motsvarande tredimensionella kilen.

Vilken höjd används för zoner och kalotter?

En sfärisk zon ligger mellan två parallella skärplan. En kalott är ytpartiet bortom ett enda skärplan. Båda krökta areorna beräknas med klotradien r och den aktuella höjden h:

För zonen är h det vinkelräta avståndet mellan planen. För kalotten går h från skärplanet till ytans högsta punkt. Det är inte en längd längs krökningen, och r är inte skärcirkelns radie.

Vid r = 3 cm och kalotthöjden 1 cm är den krökta arean 6π kvadratcentimeter. Den plana cirkelskivan som skulle stänga kroppen ingår inte. Ett halvklot har höjden r och därför halva klotets krökta area. Lägg till basen bara när en sluten yta efterfrågas.

Area är inte volym

Area gäller hur mycket av utsidan som ska täckas, volym hur mycket utrymme kroppen upptar. Enheter och formler skiljer sig. Beräkningarna gäller ett idealt klot, inte en ellipsoid eller ett oregelbundet rundat föremål. För en plan figur, se cirkelns area.