Cirkelns area: radie, diameter och formel

Cirkelns area mäter det plana området innanför cirkelranden. Den beräknas med radien, avståndet från centrum till randen. Om diametern är given delar du den med två innan du använder radieformeln.

Area från radie eller diameter

För radien r och diametern d är formlerna likvärdiga:

Radien ska kvadreras, inte fördubblas. Med radien 5 cm räknar du först 5 × 5 = 25 och multiplicerar med π.

Räkna igenom cirkelarean vid radien 5 cm

Vi söker arean av en cirkel med radien 5 cm. Det givna måttet är redan en radie och ska därför inte halveras.

1. Kvadrera radien genom att multiplicera 5 med 5. Det är inte samma sak som att dubbla 5.

   $$r^2=5\times 5=25{\text{cm}}^2$$

2. Multiplicera radien i kvadrat med π. Låt π stå kvar så att arean förblir exakt.

   $$A=\pi \times 25=25\pi {\text{cm}}^2$$

3. Beräkna decimalvärdet och avrunda till två decimaler. Använd approximationstecknet för det avrundade svaret.

   $$A\approx \mathrm{78,54}{\text{cm}}^2$$

Arean är 25π kvadratcentimeter, ungefär 78,54 kvadratcentimeter. Ett svar i enbart centimeter skulle beskriva en längd, inte en area.

Den exakta arean är 25π kvadratcentimeter, ungefär 78,54. En diameter på 10 cm anger samma cirkel och ska ge samma area.

Varför finns π i areaformeln?

Tänk dig en regelbunden månghörning inskriven i cirkeln, indelad i trianglar från centrum. Dess area är halva omkretsen gånger det vinkelräta avståndet från centrum till en sida. När antalet sidor ökar närmar sig omkretsen cirkelns omkrets och avståndet radien.

I gränsen blir arean halva cirkelomkretsen gånger radien:

En månghörning med ett ändligt antal sidor har fortfarande raka kanter och är inte redan en cirkelskiva. Det är gränsövergången som motiverar formeln.

Cirkelrand och cirkelskiva

Cirkelranden består av punkter på exakt avstånd r från centrum. Cirkelskivan omfattar även punkter närmare centrum. Arean mäter det fyllda området, medan omkretsen mäter randens längd. Randlinjen har inte skivans area.

För r = 5 cm är omkretsen 10π cm och arean 25π kvadratcentimeter. Diametern är 2r, inte 2π: den beror på figurens storlek och har en längdenhet.

Enheter och avrundning

Omvandla längder till samma enhet före beräkningen. Behandla inte en diameter i millimeter som en radie i centimeter. När längden kvadreras måste även omvandlingsfaktorn kvadreras. En kvadratcentimeter innehåller 100 kvadratmillimeter.

En fördubblad radie fyrdubblar arean men fördubblar bara omkretsen. Det är en användbar kontroll. För en cirkelring subtraherar du den inre skivans area, och för en sektor tar du rätt andel av hela cirkeln. För en krökt yta i rymden behövs en annan formel: se klotets area.