Sirkelens areal: radius, diameter og formel

Sirkelens areal måler det plane området innenfor sirkelranden. Det beregnes fra radius, avstanden fra sentrum til randen. Kjenner du diameteren, deler du den på to før du bruker radiusformelen.

Areal fra radius eller diameter

For radius r og diameter d er formlene likeverdige:

Radius skal kvadreres, ikke dobles. Med radius 5 cm regner du først 5 × 5 = 25 og multipliserer med π.

Regn sirkelarealet med radius 5 cm helt ut

Vi søker arealet av en sirkel med radius 5 cm. Den oppgitte lengden er allerede en radius og skal derfor ikke halveres.

1. Kvadrer radius ved å multiplisere 5 med 5. Det er ikke det samme som å doble 5.

   $$r^2=5\times 5=25{\text{cm}}^2$$

2. Multipliser radius i andre potens med π. La π stå, slik at arealet forblir eksakt.

   $$A=\pi \times 25=25\pi {\text{cm}}^2$$

3. Beregn desimalverdien og rund av til to desimaler. Bruk tilnærmingstegnet for det avrundede svaret.

   $$A\approx \mathrm{78,54}{\text{cm}}^2$$

Arealet er 25π kvadratcentimeter, omtrent 78,54 kvadratcentimeter. Et svar bare i centimeter ville beskrive en lengde, ikke et areal.

Det eksakte arealet er 25π kvadratcentimeter, omtrent 78,54. En diameter på 10 cm angir samme sirkel og skal gi samme areal.

Hvorfor finnes π i arealformelen?

Tenk deg en regulær mangekant innskrevet i sirkelen og delt i trekanter fra sentrum. Arealet er halvparten av omkretsen ganger den vinkelrette avstanden fra sentrum til en side. Når antall sider øker, nærmer omkretsen seg sirkelens omkrets og avstanden seg radius.

I grensen får vi halve sirkelomkretsen ganger radius:

En mangekant med endelig mange sider har fortsatt rette kanter og er ikke allerede en sirkelskive. Det er grenseovergangen som begrunner formelen.

Sirkelrand og sirkelskive

På sirkelranden ligger punktene nøyaktig i avstanden r fra sentrum. Sirkelskiven omfatter også punktene innenfor. Arealet måler det fylte området, omkretsen lengden av randen. Selve randlinjen har ikke skivens areal.

Ved r = 5 cm er omkretsen 10π cm og arealet 25π kvadratcentimeter. Diameteren er 2r, ikke 2π: Den avhenger av størrelsen og er en lengde.

Enheter og avrunding

Omregn lengdene til samme enhet før beregningen. Ikke behandle en diameter i millimeter som en radius i centimeter. Når lengden kvadreres, må også omregningsfaktoren kvadreres. En kvadratcentimeter inneholder 100 kvadratmillimeter.

En doblet radius firedobler arealet, men dobler bare omkretsen. Dette er en nyttig kontroll. For en sirkelring trekker du fra den indre skivens areal; for en sektor bruker du riktig andel av hele sirkelen. En krum overflate krever en annen formel: se kulas overflateareal.