L’aire d’un disque mesure la région plane délimitée par un cercle. Elle se calcule à partir du rayon, la distance du centre à la frontière. Si le diamètre est donné, divisez-le par deux avant d’utiliser la formule avec le rayon.
Calculer l’aire avec le rayon ou le diamètre
Pour un rayon r et un diamètre d, les deux expressions sont équivalentes :
On élève le rayon au carré ; on ne le double pas. Avec un rayon de 5 cm, calculez 5 × 5 = 25, puis multipliez par π.
Calcul détaillé pour un disque de rayon 5 cm
On cherche l’aire d’un disque de rayon 5 cm. La donnée est déjà un rayon ; il ne faut donc pas la diviser par deux.
Élevez le rayon au carré en multipliant 5 par 5. Ce calcul est différent du double de 5.
Multipliez le carré du rayon par π. Gardez π dans l’expression pour conserver l’aire exacte.
Calculez la valeur décimale et arrondissez à deux décimales. Utilisez le signe d’approximation pour ce résultat arrondi.
L’aire vaut 25π centimètres carrés, soit environ 78,54 centimètres carrés. Une réponse en centimètres seuls décrirait une longueur, pas une aire.
L’aire exacte est 25π centimètres carrés, soit environ 78,54. Un diamètre de 10 cm définit le même disque et doit donc donner le même résultat.
Pourquoi π intervient-il dans l’aire ?
Imaginez un polygone régulier inscrit dans le cercle, partagé en triangles depuis son centre. Son aire vaut la moitié du produit de son périmètre par son apothème, la distance perpendiculaire du centre à un côté. Quand le nombre de côtés augmente, le périmètre tend vers la circonférence et l’apothème vers le rayon.
À la limite, l’aire vaut la moitié du produit de la circonférence par le rayon :
Un polygone ayant un nombre fini de côtés conserve des segments droits : il n’est pas déjà un disque. C’est le passage à la limite qui explique la formule.
Le cercle est la frontière du disque
Le cercle contient les points situés exactement à distance r du centre. Le disque contient ceux dont la distance est inférieure ou égale à r. L’aire appartient à la région remplie ; la circonférence mesure la longueur de sa frontière. Cette ligne n’a pas l’aire du disque.
Pour r = 5 cm, la circonférence vaut 10π cm, tandis que l’aire vaut 25π centimètres carrés. Le diamètre vaut 2r, pas 2π : il dépend de la taille de la figure et s’exprime en unité de longueur.
Unités et arrondis à contrôler
Convertissez les longueurs dans une même unité avant de calculer. Ne traitez pas un diamètre en millimètres comme un rayon en centimètres. Puisque l’aire utilise une longueur au carré, le facteur de conversion doit lui aussi être mis au carré. Un centimètre carré contient 100 millimètres carrés.
Doubler le rayon multiplie l’aire par quatre mais ne fait que doubler la circonférence. Cela permet de vérifier un résultat. Pour une couronne, soustrayez l’aire du disque intérieur ; pour un secteur, prenez la fraction appropriée de l’aire totale. Une surface courbe nécessite une autre formule : voyez l’aire d’une sphère.
