L’aire d’une sphère mesure sa surface extérieure courbe, comme la peau d’une orange. Elle ne mesure pas l’espace intérieur. Tous les points de la sphère sont à la même distance r du centre : c’est son rayon.
Quelle formule donne l’aire totale ?
Avec le rayon r ou le diamètre d :
Le diamètre vaut deux fois le rayon. Remplacer r par la moitié de d donne la seconde forme. Un rayon en centimètres donne une aire en centimètres carrés. π est exact ; 3,14 n’est qu’une approximation.
Exemple avec un rayon de 3 cm
Élevez le rayon au carré avant de multiplier par 4π. Pour r = 3 cm, l’aire exacte est 36π centimètres carrés, soit environ 113,10 après arrondi à deux décimales.
Calculer l’aire à partir d’un diamètre de 6 cm
Une sphère a un diamètre de 6 cm. On cherche toute sa surface courbe. La formule demande le rayon : on ne peut donc pas remplacer r directement par le diamètre.
Divisez le diamètre par deux pour obtenir le rayon de 3 cm.
Élevez le rayon au carré avant de multiplier par les autres facteurs. La grandeur obtenue est en centimètres carrés.
Multipliez par 4π. Conservez le multiple exact de π, puis arrondissez le résultat à deux décimales.
L’aire vaut exactement 36π centimètres carrés, soit environ 113,10 centimètres carrés. Elle mesure la surface extérieure, pas le volume de la sphère.
Un diamètre de 6 cm décrit la même sphère. L’utiliser comme rayon produirait une aire quatre fois trop grande. Gardez π jusqu’à l’arrondi final.
Calculer l’aire d’un fuseau sphérique
Un fuseau est la bande de surface entre deux demi-grands cercles ayant les mêmes extrémités. Son aire représente la même fraction de l’aire totale que son angle représente d’un tour. α est ici en degrés et θ en radians :
Les deux expressions n’emploient pas la même unité d’angle. Un fuseau de 90° occupe le quart de la surface ; sur une sphère de rayon 3 cm, son aire vaut 9π centimètres carrés. Le fuseau est une surface, contrairement au secteur solide correspondant.
Quelle hauteur utiliser pour une zone ou une calotte ?
Une zone se trouve entre deux plans de coupe parallèles. Une calotte est la portion au-delà d’un seul plan de coupe. Leur aire courbe dépend du rayon r de la sphère et de la hauteur h appropriée :
Pour la zone, h est la distance perpendiculaire entre les plans. Pour la calotte, elle va du plan au sommet de la surface. Ce n’est pas une longueur mesurée le long de la courbe ; r n’est pas non plus le rayon du cercle de coupe.
Avec un rayon de 3 cm et une hauteur de calotte de 1 cm, l’aire courbe vaut 6π centimètres carrés. Elle exclut le disque plat qui fermerait le solide coupé. Un hémisphère a une hauteur égale au rayon : son aire courbe est donc la moitié de celle de la sphère. Ajoutez le disque de base seulement si la surface fermée est demandée.
Aire et volume répondent à des questions différentes
L’aire concerne le revêtement extérieur ; le volume concerne l’espace occupé ou contenu. Les unités et les formules diffèrent. Ces calculs supposent une sphère idéale, pas un ellipsoïde ni un objet arrondi irrégulier. Pour la figure plane, consultez l’aire du disque.
