Pole powierzchni kuli: wzór, czasza i warstwa kulista

Pole powierzchni kuli mierzy jej zakrzywioną zewnętrzną powierzchnię, podobnie jak skórkę pomarańczy. Nie opisuje przestrzeni wewnątrz. Każdy punkt sfery jest oddalony od środka o tę samą długość r, czyli promień.

Wzór na całą powierzchnię

Dla promienia r lub średnicy d stosujemy:

Średnica jest dwa razy większa od promienia. Zastąpienie r połową d daje drugi wzór. Promień w centymetrach prowadzi do pola w centymetrach kwadratowych. π jest dokładną stałą; 3,14 to przybliżenie.

Przykład dla promienia 3 cm

Najpierw podnieś promień do kwadratu, potem pomnóż przez 4π. Dla r = 3 cm otrzymujemy dokładnie 36π centymetrów kwadratowych, czyli około 113,10 po zaokrągleniu do dwóch miejsc.

Obliczanie powierzchni ze średnicy 6 cm

Kula ma średnicę 6 cm. Szukamy całej jej zakrzywionej powierzchni. Wzór wymaga promienia, więc nie można bezpośrednio podstawić średnicy za r.

1. Podziel średnicę przez dwa, aby otrzymać promień 3 cm.

   $$r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3\text{cm}$$

2. Podnieś promień do kwadratu przed mnożeniem przez pozostałe czynniki. Uzyskana wielkość ma jednostkę centymetrów kwadratowych.

   $$r^2=3^2=9{\text{cm}}^2$$

3. Pomnóż przez 4π. Zachowaj dokładną wielokrotność π, a następnie zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.

   $$A=4\times \pi \times 9=36\pi {\text{cm}}^2$$
   $$A\approx \mathrm{113,10}{\text{cm}}^2$$

Pole wynosi dokładnie 36π centymetrów kwadratowych, około 113,10 centymetrów kwadratowych. Opisuje zewnętrzną powierzchnię, a nie objętość kuli.

Średnica 6 cm opisuje tę samą kulę. Potraktowanie jej jako promienia dałoby cztery razy większe pole. Zachowaj π w rachunkach aż do ostatniego zaokrąglenia.

Pole dwukąta sferycznego

Dwukąt sferyczny to pas powierzchni między dwoma półokręgami wielkimi o wspólnych końcach. Jego część całej powierzchni jest taka jak część pełnego obrotu zajęta przez jego kąt. α podajemy w stopniach, a θ w radianach:

Nie zamieniaj jednostek w obu wyrażeniach. Kąt 90° wyznacza ćwierć powierzchni; dla promienia 3 cm jest to 9π centymetrów kwadratowych. Ta powierzchnia nie jest przestrzennym klinem kuli.

Wysokość pasa sferycznego i czaszy

Pas sferyczny leży między dwiema równoległymi płaszczyznami. Czasza kulista jest powierzchnią odciętą jedną płaszczyzną. Ich zakrzywione pola wyznacza promień kuli r i odpowiednia wysokość h:

Dla pasa h jest prostopadłą odległością między płaszczyznami. Dla czaszy biegnie od płaszczyzny do najwyższego punktu sfery. Nie mierzymy jej po łuku. r jest promieniem kuli, nie koła przekroju.

Przy r = 3 cm i wysokości czaszy 1 cm pole zakrzywione wynosi 6π centymetrów kwadratowych. Nie obejmuje płaskiego koła zamykającego odciętą bryłę. Półkula ma wysokość równą promieniowi, więc jej powierzchnia zakrzywiona stanowi połowę powierzchni kuli. Podstawę dodaje się tylko dla powierzchni zamkniętej.

Pole nie jest objętością

Pole dotyczy pokrycia powierzchni, a objętość zajętej przestrzeni. Wzory i jednostki są różne. Obliczenia zakładają idealną kulę, nie elipsoidę ani nieregularny zaokrąglony przedmiot. Dla figury płaskiej zobacz pole koła.