Pallon pinta-ala: kaava, kalotti ja pallovyöhyke

Pallon pinta-ala mittaa kaarevaa ulkopintaa, kuten appelsiinin kuorta. Se ei mittaa sisätilaa. Kaikki pallopinnan pisteet ovat samalla etäisyydellä r keskipisteestä. Tämä etäisyys on säde.

Koko pallopinnan kaava

Säteelle r tai halkaisijalle d pätee:

Halkaisija on kaksi kertaa säde. Korvaa r puolikkaalla d:stä saadaksesi toisen muodon. Senttimetreissä annettu säde tuottaa pinta-alan neliösenttimetreissä. π on tarkka vakio; 3,14 on likiarvo.

Esimerkki: säde 3 cm

Korota ensin säde toiseen potenssiin ja kerro 4π:llä. Kun r = 3 cm, tarkka pinta-ala on 36π neliösenttimetriä, kahden desimaalin tarkkuudella noin 113,10.

Pallopinnan laskeminen halkaisijasta 6 cm

Pallon halkaisija on 6 cm. Etsimme koko kaarevan pinnan alaa. Kaava käyttää sädettä, joten halkaisijaa ei voi sijoittaa suoraan r:n paikalle.

1. Puolita halkaisija saadaksesi säteen 3 cm.

   $$r=\frac{d}{2}=\frac{6}{2}=3\text{cm}$$

2. Korota säde toiseen potenssiin ennen kertomista muilla tekijöillä. Suureen yksiköksi tulee neliösenttimetri.

   $$r^2=3^2=9{\text{cm}}^2$$

3. Kerro 4π:llä. Säilytä ensin tarkka π:n monikerta ja pyöristä sen jälkeen kahteen desimaaliin.

   $$A=4\times \pi \times 9=36\pi {\text{cm}}^2$$
   $$A\approx \mathrm{113,10}{\text{cm}}^2$$

Pinta-ala on tarkasti 36π neliösenttimetriä, noin 113,10 neliösenttimetriä. Se kuvaa ulkopintaa, ei pallon tilavuutta.

Halkaisija 6 cm tarkoittaa samaa palloa. Sen käyttäminen säteenä antaisi nelinkertaisen tuloksen. Säilytä π laskuissa viimeiseen pyöristykseen asti.

Pallon kaksikulmion pinta-ala

Pallon kaksikulmio on kahden yhteispäisen isoympyrän puolikkaan välinen pintakaista. Sen osuus kokonaispinnasta vastaa kulman osuutta täydestä kierroksesta. α on asteina ja θ radiaaneina:

Ilmaisut käyttävät eri kulmayksiköitä. Kulmalla 90° kaista on neljännes koko pinnasta. Säteellä 3 cm pinta-ala on 9π neliösenttimetriä. Pintakaista ei ole sama kuin vastaava kolmiulotteinen pallokiila.

Vyöhykkeen ja kalotin korkeus

Pallovyöhyke on kahden yhdensuuntaisen leikkaustason välinen pinta. Kalotti on yhden leikkaustason toiselle puolelle jäävä pintaosa. Molempien kaareva pinta-ala lasketaan pallon säteestä r ja vastaavasta korkeudesta h:

Vyöhykkeellä h on tasojen kohtisuora etäisyys. Kalotilla se ulottuu leikkaustasosta pinnan ylimpään pisteeseen. Sitä ei mitata kaarta pitkin, eikä r tarkoita leikkausympyrän sädettä.

Kun r = 3 cm ja kalotin korkeus on 1 cm, kaareva pinta-ala on 6π neliösenttimetriä. Leikatun kappaleen sulkeva tasainen kiekko ei sisälly siihen. Puolipallon korkeus on r, joten kaareva pinta on puolet koko pallopinnasta. Lisää pohja vain, kun kysytään suljettua pintaa.

Pinta-ala ei ole tilavuus

Pinta-ala liittyy ulkopinnan peittämiseen, tilavuus kappaleen viemään tilaan. Kaavat ja yksiköt ovat erilaiset. Laskut olettavat ihanteellisen pallon, eivät ellipsoidia tai epäsäännöllistä pyöristettyä esinettä. Tasokuviolle katso ympyrän pinta-ala.