Die Oberfläche einer Kugel misst ihre gekrümmte Außenseite, ähnlich der Schale einer Orange. Sie beschreibt nicht den Innenraum. Jeder Punkt auf der Kugeloberfläche hat denselben Abstand r zum Mittelpunkt. Dieser Abstand ist der Radius.
Welche Formel gilt für die gesamte Oberfläche?
Mit dem Radius r oder dem Durchmesser d gilt:
Der Durchmesser ist doppelt so groß wie der Radius. Setzt man für r den halben Durchmesser ein, entsteht die zweite Form. Bei einem Radius in Zentimetern ergibt sich die Fläche in Quadratzentimetern. π ist exakt; 3,14 nur eine Näherung.
Beispiel mit 3 cm Radius
Quadriere zuerst den Radius und multipliziere dann mit 4π. Für r = 3 cm erhältst du exakt 36π Quadratzentimeter, auf zwei Nachkommastellen gerundet etwa 113,10.
Die Oberfläche aus 6 cm Durchmesser berechnen
Eine Kugel hat 6 cm Durchmesser. Gesucht ist ihre gesamte gekrümmte Oberfläche. Die Formel braucht den Radius; der Durchmesser darf nicht unmittelbar für r eingesetzt werden.
Halbiere den Durchmesser. Damit erhältst du den Radius von 3 cm.
Quadriere den Radius vor der Multiplikation mit den übrigen Faktoren. Die entstehende Größe hat die Einheit Quadratzentimeter.
Multipliziere mit 4π. Behalte zuerst das exakte Vielfache von π und runde dann auf zwei Nachkommastellen.
Die Oberfläche beträgt exakt 36π Quadratzentimeter, ungefähr 113,10 Quadratzentimeter. Das beschreibt die Außenseite und nicht das Kugelvolumen.
Ein Durchmesser von 6 cm beschreibt dieselbe Kugel. Würdest du ihn als Radius einsetzen, wäre das Ergebnis viermal zu groß. Runde erst am Ende und rechne vorher möglichst mit π weiter.
Die Fläche eines Kugelzweiecks
Ein Kugelzweieck ist der Oberflächenstreifen zwischen zwei Großkreishälften mit gemeinsamen Endpunkten. Sein Anteil an der Gesamtfläche entspricht dem Anteil seines Winkels an einer vollen Drehung. Hier steht α für Grad und θ für Radiant:
Die beiden Ausdrücke verwenden unterschiedliche Winkeleinheiten. Ein 90°-Kugelzweieck umfasst ein Viertel der Oberfläche. Bei Radius 3 cm sind das 9π Quadratzentimeter. Die Fläche ist vom dazugehörigen räumlichen Kugelkeil zu unterscheiden.
Welche Höhe gehört zur Kugelzone oder Kugelkappe?
Eine Kugelzone liegt zwischen zwei parallelen Schnittebenen. Eine Kugelkappe ist die Oberflächenfläche jenseits einer einzelnen Schnittebene. Beide gekrümmten Flächen berechnet man mit dem Kugelradius r und der jeweiligen Höhe h:
Bei der Zone ist h der senkrechte Abstand zwischen den Ebenen. Bei der Kappe reicht h von der Schnittebene bis zum höchsten Punkt der Oberfläche. Es ist keine Strecke entlang der Wölbung. r bezeichnet den Kugelradius, nicht den Radius des Schnittkreises.
Für r = 3 cm und Kappenhöhe 1 cm beträgt die gekrümmte Fläche 6π Quadratzentimeter. Die ebene Kreisfläche, die den abgeschnittenen Körper schließen würde, ist nicht enthalten. Bei einer Halbkugel ist h gleich r; die gekrümmte Fläche ist daher halb so groß wie die ganze Kugeloberfläche. Eine Grundfläche wird nur bei einer geschlossenen Halbkugel addiert.
Oberfläche ist nicht Volumen
Oberfläche betrifft das Bedecken der Außenseite, Volumen den eingenommenen Raum. Einheiten und Formeln unterscheiden sich. Die Rechnungen gelten für eine ideale Kugel, nicht für ein Ellipsoid oder einen unregelmäßig gerundeten Körper. Zur ebenen Figur siehe Kreisfläche.
