Die Kreisfläche misst den ebenen Bereich innerhalb der Kreislinie. Berechnet wird sie mit dem Radius, dem Abstand vom Mittelpunkt zur Kreislinie. Ist stattdessen der Durchmesser gegeben, halbiere ihn vor dem Einsetzen in die Radiusformel.
Kreisfläche aus Radius oder Durchmesser
Für den Radius r und den Durchmesser d sind die Formeln gleichwertig:
Der Radius wird quadriert, nicht verdoppelt. Bei 5 cm Radius rechnest du zuerst 5 × 5 = 25 und multiplizierst mit π.
Die Kreisfläche bei 5 cm Radius vollständig ausrechnen
Gesucht ist die Fläche eines Kreises mit 5 cm Radius. Die gegebene Länge ist bereits ein Radius und muss nicht halbiert werden.
Quadriere den Radius, indem du 5 mit 5 multiplizierst. Das ist etwas anderes als 5 zu verdoppeln.
Multipliziere den quadrierten Radius mit π. Lass π im Ausdruck stehen, damit die Fläche exakt bleibt.
Berechne den Dezimalwert und runde auf zwei Nachkommastellen. Kennzeichne diesen gerundeten Wert mit dem Näherungszeichen.
Die Fläche beträgt 25π Quadratzentimeter, ungefähr 78,54 Quadratzentimeter. Eine Antwort nur in Zentimetern würde eine Länge statt einer Fläche beschreiben.
Die exakte Fläche beträgt 25π Quadratzentimeter, gerundet etwa 78,54. Ein Durchmesser von 10 cm gehört zum selben Kreis und muss dasselbe Ergebnis liefern.
Warum kommt π in der Flächenformel vor?
Stelle dir ein regelmäßiges Vieleck innerhalb der Kreislinie vor. Verbindest du seine Ecken mit dem Mittelpunkt, entstehen Dreiecke. Die Vielecksfläche ist der halbe Umfang mal dem senkrechten Abstand des Mittelpunkts zu einer Seite. Bei immer mehr Seiten nähert sich der Umfang dem Kreisumfang und dieser Abstand dem Radius.
Im Grenzfall folgt die halbe Umfangslänge mal Radius:
Ein Vieleck mit endlich vielen Seiten hat weiterhin gerade Kanten und ist noch kein Kreis. Erst der Grenzübergang erklärt die Kreisformel.
Kreislinie und Kreisfläche unterscheiden
Auf der Kreislinie liegen die Punkte mit genau dem Abstand r zum Mittelpunkt. Zur abgeschlossenen Kreisfläche gehören auch alle Punkte mit kleinerem Abstand. Die Fläche misst den ausgefüllten Bereich, der Umfang die Länge der Begrenzung. Die Linie selbst besitzt nicht die Fläche der Kreisscheibe.
Bei r = 5 cm beträgt der Umfang 10π cm und die Fläche 25π Quadratzentimeter. Der Durchmesser ist 2r und nicht 2π: Er hängt von der Kreisgröße ab und hat eine Längeneinheit.
Einheiten und Rundung prüfen
Rechne die Längen vor dem Einsetzen in dieselbe Einheit um. Ein Durchmesser in Millimetern darf nicht als Radius in Zentimetern behandelt werden. Da eine Länge quadriert wird, muss auch der Umrechnungsfaktor quadriert werden. Ein Quadratzentimeter enthält 100 Quadratmillimeter.
Ein doppelter Radius vervierfacht die Fläche, verdoppelt aber nur den Umfang. Das ist eine nützliche Ergebniskontrolle. Beim Kreisring wird die innere Kreisfläche abgezogen; beim Kreissektor nimmt man den entsprechenden Anteil. Für eine gekrümmte räumliche Oberfläche gilt eine andere Formel: siehe Kugeloberfläche.
