L’area del cerchio misura la regione piana racchiusa dalla circonferenza. Si calcola dal raggio, la distanza tra centro e bordo. Se conosci il diametro, dividilo per due prima di usare la formula con il raggio.
Area con raggio o diametro
Per un raggio r e un diametro d, le formule equivalenti sono:
Il raggio si eleva al quadrato, non si raddoppia. Con raggio 5 cm, calcola 5 × 5 = 25 e moltiplica per π.
Risolvere l’area di un cerchio con raggio 5 cm
Cerchiamo l’area di un cerchio di raggio 5 cm. Il dato è già un raggio, quindi non va diviso per due.
Eleva il raggio al quadrato moltiplicando 5 per 5. Non è la stessa cosa che raddoppiare 5.
Moltiplica il quadrato del raggio per π. Lascia π nell’espressione per conservare l’area esatta.
Calcola il valore decimale e arrotonda a due cifre decimali. Usa il segno di approssimazione per questo valore arrotondato.
L’area è 25π centimetri quadrati, circa 78,54 centimetri quadrati. Una risposta soltanto in centimetri descriverebbe una lunghezza, non un’area.
Il valore esatto è 25π centimetri quadrati, circa 78,54. Un diametro di 10 cm descrive lo stesso cerchio e deve quindi dare lo stesso risultato.
Perché nella formula compare π?
Immagina un poligono regolare inscritto nella circonferenza e suddiviso in triangoli dal centro. La sua area è metà del prodotto del perimetro per l’apotema, la distanza perpendicolare dal centro a un lato. Aumentando il numero di lati, il perimetro si avvicina alla lunghezza della circonferenza e l’apotema al raggio.
Al limite si ottiene metà della lunghezza della circonferenza per il raggio:
Un poligono con un numero finito di lati conserva segmenti rettilinei: non coincide già con il cerchio. È il passaggio al limite a spiegare la formula.
Cerchio e circonferenza
La circonferenza comprende i punti a distanza esattamente r dal centro. Il cerchio o disco comprende quelli a distanza minore o uguale a r. L’area misura la regione piena; la lunghezza della circonferenza misura il bordo. La linea del bordo non ha l’area del disco.
Con r = 5 cm, la circonferenza è lunga 10π cm, mentre l’area è 25π centimetri quadrati. Il diametro è 2r, non 2π: dipende dalla grandezza del cerchio ed è una lunghezza.
Controllare unità e arrotondamenti
Converti le lunghezze nella stessa unità prima del calcolo. Un diametro in millimetri non va trattato come un raggio in centimetri. Poiché si eleva una lunghezza al quadrato, anche il fattore di conversione viene elevato al quadrato. Un centimetro quadrato contiene 100 millimetri quadrati.
Raddoppiare il raggio quadruplica l’area ma raddoppia soltanto la circonferenza. È un controllo utile del risultato. Per una corona circolare sottrai l’area del disco interno; per un settore prendi la frazione appropriata del cerchio. Per una superficie curva tridimensionale serve un’altra formula: vedi l’area della sfera.
