Ympyrän pinta-ala: säde, halkaisija ja kaava

Ympyrän pinta-ala mittaa kehän rajaamaa tasaista aluetta. Se lasketaan säteestä, joka on keskipisteen etäisyys kehään. Jos tiedät halkaisijan, puolita se ennen säteeseen perustuvan kaavan käyttämistä.

Pinta-ala säteestä tai halkaisijasta

Säteelle r ja halkaisijalle d kaavat ovat yhtäpitävät:

Säde korotetaan toiseen potenssiin, ei kaksinkertaisteta. Kun säde on 5 cm, laske ensin 5 × 5 = 25 ja kerro π:llä.

Säteen 5 cm pinta-alalasku vaihe vaiheelta

Etsimme pinta-alaa ympyrälle, jonka säde on 5 cm. Annettu pituus on jo säde, joten sitä ei puoliteta.

1. Neliöi säde kertomalla 5 luvulla 5. Tämä on eri asia kuin luvun 5 kaksinkertaistaminen.

   $$r^2=5\times 5=25{\text{cm}}^2$$

2. Kerro säteen neliö π:llä. Jätä π lausekkeeseen, jotta pinta-ala pysyy tarkkana.

   $$A=\pi \times 25=25\pi {\text{cm}}^2$$

3. Laske desimaaliarvo ja pyöristä kahteen desimaaliin. Käytä pyöristetyn vastauksen yhteydessä likiarvomerkkiä.

   $$A\approx \mathrm{78,54}{\text{cm}}^2$$

Pinta-ala on 25π neliösenttimetriä, noin 78,54 neliösenttimetriä. Pelkissä senttimetreissä annettu vastaus kuvaisi pituutta eikä pinta-alaa.

Tarkka pinta-ala on 25π neliösenttimetriä, noin 78,54. Halkaisija 10 cm kuvaa samaa ympyrää ja antaa saman pinta-alan.

Miksi kaavassa esiintyy π?

Kuvittele ympyrän sisään piirretty säännöllinen monikulmio, joka jaetaan keskipisteestä kolmioihin. Sen pinta-ala on puolet piirin ja keskipisteestä sivuun mitatun kohtisuoran etäisyyden tulosta. Sivujen määrän kasvaessa piiri lähestyy ympyrän kehän pituutta ja etäisyys sädettä.

Raja-arvona saadaan puolet kehän pituuden ja säteen tulosta:

Äärellisen monikulmion sivut ovat yhä suoria, joten se ei vielä ole kiekko. Juuri raja-arvoon siirtyminen perustelee ympyrän kaavan.

Kehä ja kiekko tarkoittavat eri asioita

Kehän pisteet ovat täsmälleen etäisyydellä r keskipisteestä. Kiekkoon kuuluvat myös lähempänä keskipistettä olevat pisteet. Pinta-ala kuvaa täytettyä aluetta, piiri sen reunaviivan pituutta. Pelkällä reunaviivalla ei ole kiekon pinta-alaa.

Kun r = 5 cm, piiri on 10π cm ja pinta-ala 25π neliösenttimetriä. Halkaisija on 2r, ei 2π: se riippuu ympyrän koosta ja on pituus.

Yksiköt ja pyöristys

Muunna pituudet samaan yksikköön ennen laskemista. Millimetreinä annettua halkaisijaa ei voi käsitellä senttimetreinä annettuna säteenä. Koska pituus korotetaan toiseen potenssiin, myös muuntokerroin neliöidään. Neliösenttimetri sisältää 100 neliömillimetriä.

Säteen kaksinkertaistaminen nelinkertaistaa pinta-alan mutta vain kaksinkertaistaa piirin. Tämä auttaa tarkistuksessa. Renkaan pinta-alasta vähennetään sisemmän kiekon ala; sektorille otetaan oikea osuus koko ympyrästä. Kaareva avaruuspinta vaatii eri kaavan: katso pallon pinta-ala.